Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
В реальных телах возникающие внутренние напряжения зависят не только от величины деформаций, но и от их скорости. Поэтому работа против таких сил, называемых силами «внутреннего трения», идет на нагревание тела. С этими силами и связаны пластические деформации, когда не выполняется закон Гука и существуют остаточные деформации при прекращении внешнего воздействия.
Вычислим работу, затрачиваемую на малую деформацию элемента объема тела. При растяжении предварительно уже деформированного кубика (рис. 1.22) на величину dx элементарная работа
/
dAg = f • dx = at de.
D /1 М A d(A?) dX
В (1.62) учтено, что є = —, а de = —-J- = — .
(1.62)
Поскольку, как следует из рис. 1.7, с(в) - нелинейная функция деформаций, то полная работа, затрачиваемая на приведение тела в деформированное состояние, равна
Ae = ?3Ja(e)de. (1.63)
о
По аналогии, работа при сдвиге задается интегралом вида:
Ay = ?3}a(Y)dy.
(1.64)
Рис. 1.12
На диаграмме (1.23) работа Ae численно g равна заштрихованной площади. Опыт, однако, показывает, что если деформации выйдут за область упругости, то при снятии внешних нагрузок Лекция 1
25
в теле будут существовать остаточные деформации єост (рис. 1.24). Чтобы их устранить, надо приложить сжимающую силу (а < 0). Такое неоднозначное поведение деформации в зависимости от приложенных напряжений носит название упругого гистерезиса. При периодически повторяющихся деформациях диаграмма о(в) будет иметь вид замкнутой кривой, которая называется петлей гистерезиса. Площадь этой петли, очевидно, в соответствии с законом сохранения энергии, равна количеству тепла, идущего на нагревание тела. Когда деформации не выходят за пределы линейного участка с(в), гистерезис отсутствует. На практике детали механизмов, испытывающие многократные, периодически повторяющиеся деформации, делают из материалов с большой величиной предела пропорциональности ап. Так, например, для закаленной пружинной стали этот предел, как видно из таблицы, имеет очень большое значение: сп = 7500 кг/см2. По этой причине, например, пружины клапанов двигателей делают из закаленной стали.
На линейном участке, где а = Еє, ст = Gy , интегралы (1.63) и (1.64)
Рис. 1.24
легко вычисляются:
є і
Ae = ?3Ej є de = -Ег2е\
(1.65)
У і
Ay =f3G\j-dj = -Gj2g\
(1.66)
В этом случае работа затрачивается только на увеличение потенциальной энергии упругой деформации. В единице объема деформированного тела запасается энергия
Wp = -^f- = — Ee2 є "3 2
wY=^f = -GY2.
(1.67)
і і 'Є
Величины we и wy носят название объемных плотностей энергии деформации растяжения и сдвига соответственно. Они играют определяющую роль при подсчете количества энергии, переносимой акустической волной в сплошных средах. 26 Механика сплошных сред Лекция 1
27
ЛЕКЦИЯ 2
Жидкость и газ в состоянии равновесия. Условия равновесия. Распределение давлений в жидкости, находящейся во внешнем поле. Плавание тел. Распределение плотности и давления в атмосфере. Воздухоплавание. Центрифугирование.
Под действием внешних сил в жидкостях и газах, как и в твердых телах, могут возникать внутренние напряжения. Рассматривая жидкости и газы как сплошные среды, мы отметим, что жидкости, не имея определенной формы, сохраняют практически неизменным свой объем. Во многих важных случаях их можно рассматривать как несжимаемые. Газы же не имеют ни определенной формы, ни фиксированного объема.
В жидкости (далее этот термин будет использоваться и для газов, за исключением только отдельно оговариваемых случаев) при сжатии силы отталкивания между молекулами могут быть весьма значительными. По этой
причине говорят не о растягивающих и сдвиговых напряжениях cry, а о давлениях Pij = -ay как об отрицательных напряжениях. Совокупность давлений
Pij, действующих на площадки, перпендикулярные осям координат и ограничивающие кубический элемент жидкости, называется тензором давлений.
Опыт показывает, что в покоящейся или медленно движущейся жидкости тангенциальные напряжения Py (і Ф j), связанные с вязкостью жидкости, отсутствуют. В этом можно убедиться, заставив, например, массивное тело, плавающее на поверхности жидкости, перемещаться вдоль поверхности под действием сколь угодно малой силы. В этой ситуации касательные напряжения, передаваемые от верхнего (увлекаемого телом) слоя к нижним слоям жидкости, пренебрежимо малы.
Закон Паскаля.
Если пренебречь вначале силами тяготения, действующими на каждый элементарный объем жидкости (или силами инерции, если таковые существуют), то из условий равновесия этого объема следует, что
Pll = P22 = Рзз = P . (2.1)
при этом давление р, возникающее вследствие внешнего воздействия, является скалярной величиной и одинаково во всех точках объема, занятого покоящейся жидкостью. Условие (2.1) автоматически обеспечивает не только равенство нулю суммы сил давления, приложенных к данному объему, но и равенство нулю суммарного момента этих сил.
Для доказательства этого условия рассмотрим неподвижную жидкость, помещенную в цилиндрический сосуд с площадью основания S1, закрытый сверху поршнем (рис. 2.1, левый сосуд). Если надавить на поршень с силой F1, то в жидкости будут созданы внутренние напряжения (давления). Рассмотрим условия равновесия элементарного объема жидкости, имеющего форму кубика. На единицу его поверхности будет действовать сжимающая
