Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Ф(х) « tg(p(x) =
dxx
В сечении X + dx угол наклона становится несколько больше:
du
Ф(х + dx) =
dx
x+dx
Приращение этого угла
d9 = ф(х + dx) - ф(х) =
d2u
dx2
dx.
Приравнивая правые части (1.45) и (1.43), получаем уравнение:
d2u _ F(l - х)
dxz
EJ
(1.44а)
(1.446)
(1.45)
(1.46)
Интегрируя два раза при условии, что U(O)=O (конец закреплен), получаем искомое искривление балки в виде
и(х) = — v ; EJ
Ixz 2
(1.47) Лекция 1
19
В частности, смещение конца балки под действием силы F, называемое стрелой прогиба, оказывается равным
= (1.48)
Если балка имеет прямоугольное сечение, то ее стрела прогиба очень быстро уменьшается по мере увеличения высоты балки h, поскольку J ~ h3.
Для экономии материала иногда используют пустотелые балки. Такая балка значительно легче цельной, а ее h осевой момент сопротивления (см. 1.36) остается достаточно большим. Для повышения жесткости используют конструкции, называемые фермами (рис. 1.15). Фермы - это достаточно легкие ажурные конструкции, высота которых, в сильной степени определяющая момент сопротивления, может достигать десятков метров. В качестве примера на рис. 1.16 показана типичная конструк-
Рис. 1.16
ция подвесного моста. Необходимая жесткость такого моста обеспечивается фермами, состоящими из жестких элементов и тросов. Рекордную длину 3910 метров имеет мост, соединяющий два острова в Японии. Длина его центрального пролета L составляет 1990 метров при высоте опор H = 297 метров.
Кручение валов.
Деформации сдвига возникают при скручивании валов машин и механизмов, когда посредством вала передается вращательное усилие от одной части механизма к другой.
Если, например, нижнее основание вала, изготовленного в виде круглого стержня радиуса R и длины і, закрепить, а к верхнему основанию приложить закручивающий момент внешних сил М, то вал деформируется. На рис. 1.17 изображены деформируемый вал и деформация сдвига элементарного объема. Очевидно, что угол сдвига а зависит от удаления этого объема
от оси вала. Касательные напряжения ст, ответственные за эти деформации, создают в сечении момент упругих сил, равный
R
Mynp = J rdfT = J ruTdS = J rGy2jtrdr ц щ
о
Здесь учтено, что площадь элементарного кольца радиуса г и шириной dr равна dS = 2jtrdr, a aT(r) = y(r)G .
Из условия равновесия части вала, находящейся, например, выше от рассматриваемого сечения, следует, что
Рис. 1.15 20
Механика сплошных сред
Mynp = M (1.50)
и Mynp не зависит от выбора сечения вала.
Зависимость у (г) должна быть линейной функцией расстояния г, т.е.
У(г) = кг, (1.51)
где неизвестный коэффициент пропорциональности к может быть определен из (1.49) при учете (1.50):
Ч , TtGR4 Mynp =M = 2jtGKjr3dr = —ц—к. (1.52)
0
Таким образом, сдвиговые деформации
2М
Yd") = ^r. (1.53)
Они пропорциональны моменту внешних сил и обратно пропорциональны четвертой степени радиуса R. Из последнего соотношения легко подсчитать угол кручения г), на который повернется верхнее основание стержня относительно нижнего. Из очевидного равенства
Є • y(R) = Rtf
с учетом (1.53) находим
e = ifi = M „.я,
где В = ——— — модуль кручения, зависящии от размеров вала и модуля
сдвига материала, из которого вал изготовлен. Для создания жестких валов необходимо увеличивать диаметр и сокращать длину. Для экономии материала Лекция 1
21
валы часто делают пустотелыми, обеспечивая при этом высокую жесткость вала.
В ряде случаев, наоборот, используют валы, изготовленные в виде тонких нитей, как, например, нити подвеса крутильных весов, использовавшихся Ш.Кулоном в опытах по исследованию электростатического взаимодействия и П.НЛебедевым - в опытах по измерению давления света. В этих опытах тонкие кварцевые нити закручивались на заметные углы при действии ничтожно малых моментов сил, что, конечно, обеспечивало высокую чувствительность крутильных весов.
Отметим, что на практике различные строительные конструкции (балки, фермы и др.) часто должны обладать достаточной сопротивляемостью как к изгибу, так и к кручению. Примерами таких конструкций являются железнодорожный рельс, балка двутаврового сечения, швеллер и др.
Интересно отметить, что при растяжении пружин могут одновременно возникать деформации растяжения и сдвига. Пружины с малыми углами наклона витков к горизонтали (рис. 1.18) при их растяжении вдоль оси, в отличие от стержней, испытывают деформации сдвига. При воздействии с
силой F такая пружина удлиняется на величину Ag = F / , при этом коэффициент ее жесткости зависит от диаметра проволоки d, числа витков п, диаметра витка D и оказывается равным
Gd4
<L55a)
При закручивании пружины, подобно валу, вокруг ее оси, когда к торцевому ее сечению прикладывается момент внешних сил М, витки пружины испытывают деформации растяжения (как при изгибе балки). В этом случае
угол закручивания 8 = M / k2, где коэффициент пропорциональности
k, =
Ed4 32nD
(1.556)
и зависит от момента инерции круглого сечения J0 = числа витков п и диаметра витка D.
