Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичными свойствами обладают и деформации сдвига. В частности, в области пропорциональности связь между деформацией и касательным напряжением (рис. 1.2) задается соотношением
В'
А/
2
в / X \
А- > •о q ^ с
/ T- г
\ / PXd/ і
А ч ' T \ / — <—
Y =
J_F G S
(1.20)
D'
Рис. 1.9
Ad
в котором стт = — — касательное
напряжение, аналогичное по смыслу введенному выше нормальному напряжению, a G — модуль сдвига, являющийся, как и модуль Юнга, характеристикой материала. Лекция 1
13
Таблица. Характеристики упругости и прочности, IO8 Н/м2
Материал Модуль упругости Модуль сдвига G Предел пропорциональности сп 11 ре KVI текучести Cp Предел прочности при растяжении см
Сварочная сталь 2000 770 1,3...1,6 1,8...2,6 3,3...4,0
Пружинная сталь незакаленная 2200 850 5,0 и выше — ДО 10 и выше
Пружинная сталь закаленная 2200 850 7,5 и выше — до 17
Медь 1100...1300 415...440 — 0,7 22
Серый чугун 750...1050 290...400 — 1,2...2,4
Свинец 140...180 55...80 0,05 0,14...0,18
В таблице приведены характеристики упругости и прочности некоторых материалов. Из этой таблицы можно сделать два важных вывода.
Во-первых, поскольку предел пропорциональности сп на 2-3 порядка меньше модуля упругости, то в области упругости деформации
Єу < IO"3 - IO"2.
Во-вторых, просматривается корреляция между величинами модуля Юнга E и модуля сдвига G — чем больше Е, тем больше и G. Это не случайно, так как между обеими величинами существует связь. Чтобы ее установить, рассмотрим растяжение маленького кубика с длиной ребра dx = I, как это изображено на рис. 1.9. Обратим внимание на то, что квадратная грань ABCD параллелепипеда, находящегося внутри рассматриваемого кубика, превращается при деформации в ромбическую грань А В С D'. Совершенно ясно, что параллелепипед испытывает сдвиговую деформацию, а его объем при этом практически не изменяется (см. также формулу (1.17)). Величину угла
сдвига а можно легко связать с деформацией удлинения є = M / Є и коэффициентом Пуассона ц = -є± / є. Из треугольника A'OD' следует, что
l_ M
tgfl + ?l= = (1.21) Iv 4 J ?_Ad 1 + є± 1-щ
2 2
Поскольку ? « 1, то 14
Механика сплошных сред
1»T + ? -1 +
COS"
Jt
-? = l + 2?.
(1.22)
Приравнивая правые части (1.21) и (1.22), находим
e(1 + ji)
а = 2? =
(i + n).
(1.23)
1 - bjl
В последней формуле учтено, ЧТО Є(і « 1
Сила F, растягивающая кубик (рис. 1.10), создает нормальное напряжение
с = F / (2. Это напряжение передается на
грани AB и ВС параллелепипеда, однако силы, действующие на каждую из граней, имеют не только нормальную к грани, но и направленную вдоль грани составляющую Fx. Касательное напряжение оказывается при этом равным
1
Рис. 1.10
(У T =
І ¦ V
л
- ¦ а ¦ I ¦ I cos —
2_1 = ?. (124)
I ¦ V 2
Поскольку деформации е в формуле (1.23) пропорциональны напряжениям, а
а = 2ах , то
2(1 + Ji) а = —-—от
(1.25)
Сравнивая последнее равенство с соотношением (1.20) и учитывая, что у = tga ~ a , находим искомую связь между модулями Юнга и сдвига:
E
G =
(1.26)
2(1+ ji)
В рассмотренном примере следует обратить внимание на то, что величина и направление силы, приложенной к некоторой площадке, зависят от ориентации и величины этой площадки. Так, на грань ( х I куба действует сила F, перпендикулярная к грани, в то время как на грань параллелепипеда
I X С действует сила F/2, направленная под углом 45° к этой грани. Этот частный вывод получит далее обобщение при обсуждении способов задания сил, действующих на каждый из элементов тела.
Посмотрим, что будет происходить с тем же кубиком, если его растягивать одновременно силами, приложенными ко всем его граням. В этом случае относительные удлинения каждого из его ребер будут определяться соотношениями:
Є, =
<*1
Il
V-
V-
CT1 -(CT2 +(J3)/ji Лекция 1
15
є, =
Єї =
<J2
.iL
Il
<J2 -(CT1 + <з3)/ц
CT3 -(CT1 +CT2)/H
(1.27)
Формулы (1.27) описывают деформации кубика при его всестороннем растяжении или сжатии. Если напряжения одинаковы (CT1 = C0 = с, = а), то деформации также будут одинаковы: = є2 = є3 = є, и
с_ ст(1-2/ц)
В результате всесторонней деформации объем кубика станет равным
V' = Є3(1 + є)3 e V(1 + Зє) , а его относительное изменение составит величину
Параметр
AV , 3(1 - 2 / ц) а
-= Зє = —1--j^ а = —
V Ek
k =
3(1 - 2 / ц)
(1.28)
(1.29)
называется модулем всестороннего сжатия и играет важную роль в теории упругости.
Важно отметить, что хрупкие материалы, подвергнутые всестороннему давлению, на которое дополнительно накладывается растяжение, сжатие или сдвиг, обнаруживают значительные пластические деформации. Такие деформации играют существенную роль, например, в процессах образования рельефа земной коры: граниты и базальты, хрупкие в обычных условиях, текут под действием колоссального давления в глубинных слоях Земли.
Деформации растяжения и сдвига возникают в практически важных случаях изгибов балок строительных конструкций и скручивания валов машин и механизмов.
