Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
смещения и(Х[,Х2,Х3) , являющимся при неоднородных деформациях функцией координат. Однако деформации в точке будут определены лишь тогда, когда известно смещение соседних с точкой P частиц тела. Таким образом, задание смещения всех частиц тела полностью определяет его деформацию. В самом деле, рассмотрим две бесконечно близкие точки
P(X1jX25X3) И P'(Xj + dX[,X2 + dx2,x3 + dx3) , имеющие смещения U(Xj,X2,X3)
и u' = u(X| + dX|,X2 + dx2,x3 + dx3). Из рисунка нетрудно видеть, что если взаимное расположение точек в недеформированном состоянии задавалось радиус-вектором C^jdx1, dx2, dx3} , то в результате деформаций новое взаимное расположение определяется вектором
Рис. 1.4 8
Механика сплошных сред
d<?' = d<? + и' - и = d<? + du. (1.7)
В частности, если u' = и, то деформации в точке P отсутствуют.
Для удобства описания деформаций возведем (1.7) в квадрат и будем
оперировать с модулями векторов de и d/". Тогда
(dt)2 = (di)2 + 2d6 ¦ du + (du)2. (1.8)
В равенстве (1.8) пренебрежем последним членом в правой части, поскольку считаем деформации малыми (du « di), а проекции вектора du представим в виде сумм
3 Эи
(du); =dUi =^-Mxj. і = 1,2,3. (1.9)
j = l OXj
Выражение (1.9), по существу, описывает приращение каждой из трех проекций вектора смещения при переходе из точки P в точку P' и содержит три слагаемых, каждое из которых есть произведение производной функции Ui в точке P на приращение соответствующего аргумента dxj4 Расписывая в (1.8) скалярное произведение в виде
de ¦ du = dx^U! + dx2du2 + dx3du3 и подставляя (1.9) в (1.8), получим
3 3 Эи; 3 3
[dt) = Ш)2 + 2Е L —1XlXjdxi = (de)2 + г! EUijdXjdXi, (UO)
^2 ^ л2 '"E ET^Xjdxi ={de)2
I=Ij=I0xJ J I=Ij=I
где, по определению,
ҐЛ.. Л
(1.11)
Эи; Эи,
-L _|---L
/
г) X j Эх j
— тензор деформаций. Из его определения видно, что он является симметричным тензором (Uij= Uji).
Для описания деформаций в каждой точке P можно выбрать такую систему координат, в которой только три диагональные компоненты тензора U11, U22 и U33 будут отличны от нуля. Как и в случае тензора инерции, для каждой точки тела P существуют свои три главные оси, относительно которых формула (1.10) имеет наиболее простой вид:
(de')2 = (de)2 + 2Undx!2 + 2U22dx2 + 2U33dx2 = = dxj (1 + 2Un) + dx2(l + 2U22) + dx3(l + 2U33) . (1.12)
В качестве примера рассмотрим деформацию сдвига в резиновом кубе, изображенном на рис. 1.2. Для удобства нанесем на его боковую грань прямоугольную сетку, разбивающую эту грань на маленькие квадратики со сторонами, параллельными ее диагоналям (рис. 1.5а). При деформации квадратики превращаются в прямоугольники (рис. 1.56). Если
под de и dt понимать длины диагоналей элементарных квадратика и прямоугольника соответственно, то эти длины можно связать формулой (1.12) только в системе координат, оси которой X1 и X2 направлены вдоль ребер элементарных ячеек (ось X3 перпендикулярна плоскости чертежа). Лекция 1
9
Рис. 1.5
Обобщая полученный результат, следует сказать, что при произвольных деформациях главные оси в любой точке P должны быть направлены параллельно ребрам элементарного прямоугольного параллепипеда, который при деформации остается прямоугольным параллепипедом. Деформации сдвига относительно главных осей координат отсутствуют. Ниже мы установим связь между деформациями сдвига и недиагональными компонентами тензора деформаций.
Выясним далее физический смысл диагональных компонент U11, U,, и U33. Относительное удлинение каждого ребра параллелепипеда равно соответствующей диагональной компоненте тензора деформаций. В самом деле,
dxJl + 2U:: -dx =
Єі =
dXi
= Jl + 2U„ - 1« Uii
(1.13)
Пусть в окрестности точки P(XpX2jX3) деформации таковы, что параллелепипед со сторонами dxp dx, и dx3 превращается в другой параллелепипед. Для наглядности рассмотрим картину деформации в плоскости X1X2 (рис. 1.6а). Смещения вершин прямоугольника при деформации изображены соответствующими векторами. Длины прямоугольника в направлении главных осей X1 и X, изменились до величин
dx; = (Ix1 +U1Cx1 + dxj, х2) - U1(XbX2)1
dx2 = dx2 + u2(xbx2 + dx2) - U1(XbX2).
Из (1.14) легко вычисляются относительные удлинения:
(1.14)
єі =
Є2 =
dxj - dxj _ U1 (X1 + dxbdx2) - U1(XbX2)
dxi
dx2 - dx2 dx2
dxi
- Эи1 -TT
- T— - uIb (Jx1
u2(xbx2 + dx2) - U2(XbX2) _ Эи2
dx-
f)X -
= U
22-
(1.15)
Соотношение (1.13) позволяет связать изменение элементарного объема с диагональными компонентами тензора. Объем элементарного параллелепипеда
dV' = dx:' • dxj • dx3 = dx: • dx2 • dx3 ^l + 2Un -Jl + 2U
22
/1 + 2U33 (1.16) 10
Механика сплошных сред
и также изменяется при деформациях. Относительное изменение этого объема при малых деформациях (|UU| « 1), как следует из (1.16), равно
dV'-dV тт
——— = U11+U22+U33. (1.17)
Важно отметить, что при сдвиге объем тела не меняется. Поэтому при деформациях сдвига сумма диагональных компонент тензора деформаций (иногда употребляют термин «след тензора»), приведенного к главным осям, равна нулю (см. ниже).
