Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
В этой лекции мы рассмотрим поведение твердых тел, которые деформируются под действием приложенных сил. Надо отметить, что основные положения механики деформируемых твердых тел, рассматриваемых как сплошные среды, были разработаны в начале XIX в. и составляют основу современной теории упругости.
Опыт показывает, что под действием приложенных сил тела в той или иной степени меняют свою форму и объем, что на микроскопическом уровне означает относительное смещение атомов, составляющих тело. Для удобства описания деформаций мысленно разобьем тело на физически малые объемы (иногда их будем называть частицы), содержащие, однако, большое число атомов. В отсутствие деформаций атомы находятся в состоянии теплового равновесия, а все малые объемы — в механическом равновесии. Тогда сумма сил и моментов сил, действующих на выделенный объем со стороны примыкающих к нему других объемов, будет равна нулю. Изменения положений атомов при деформациях приводят к тому, что в теле возникают внутренние силы, или внутренние напряжения, стремящиеся вернуть тело в состояние равновесия.
Важно отметить, что внутренние силы, как силы молекулярного взаимодействия, являются короткодействующими. Только соседние атомы или молекулы эффективно взаимодействуют друг с другом. Это упрощает ситуацию, поскольку позволяет считать, что силы, действующие на малый объем, приложены к ограничивающей его поверхности.
Элементарные деформации. Коэффициент Пуассона.
При всем многообразии случаев произвольную деформацию тела можно свести к двум элементарным деформациям — растяжению (сжатию) и сдвигу.
Обратимся к опыту. Закрепим один конец резинового шнура длиной і, имеющего квадратное сечение, и потянем за другой конец с постоянной силой.
Шнур придет в новое положение равновесия с длиной Ix > і (рис. 1.1). Такую простейшую деформацию можно охарактеризовать относительным удлинением
є =
Ix-I I
(1.1)
При этом растяжению соответствует є > 0, а сжатию — є < 0. 6
Механика сплошных сред
W
d, di
/
J1_
Рис. 1.1
Рис. 1.2
/і г
ос/ / ¦/—^-
і І/ /
Деформацию сдвига можно наблюдать в опыте с резиновым кубиком, если закрепить, например, его нижнее основание, а к верхнему основанию приложить касательную силу (рис. 1.2). Деформация в этом случае будет характеризоваться параметром
y=tga, (1.2)
зависящим от угла сдвига а, который в большинстве практически важных случаев мал, и у ~ а.
Отметим также известный факт, что при растяжении резинового шнура его поперечный размер d уменьшается до величины dr Такое поперечное сжатие характеризуется параметром
di -d _ Ad d d
є, =
(1.3)
Опытным путем установлено, что отношениек є±к е приблизительно одинаково для разных деформаций одного и того же материала. Поэтому в теории упругости материал характеризуется коэффициентом Пуассона
ц =--
є '
(1.4)
Каково численное значение коэффициента Пуассона? Чтобы ответить на этот вопрос, подсчитаем изменение объема резинового шнура.
В отсутствие деформации его объем V = M2, объем же деформированного шнура
V1 = ^d2l = е(1 + e)d2 (1 + е±)2 « V(1 + є + 2е±) .
(1.5)
В последнем выражении мы пренебрегли малыми величинами E21, 2єє± и ее2 . С учетом (1.4) относительное изменение объема запишется в виде
AV V
^ ~ є + 2є± = є (1 - 2(a) .
V
(1.6)
Поскольку при растяжении (є > 0) объем никогда не уменьшается, то 0 < (д, < 1 / 2.
Для изотропных материалов, имеющих одинаковые механические свойства по всем направлениям, коэффициент Пуассона 1/4<ц<1/3,в частности, для металлов ц = 3/10.
Понятие о тензоре деформаций.
В рассмотренных выше случаях мы имели дело с одномерными однородными деформациями растяжения и сдвига (вдоль одного направления), Лекция 1
7
'X3
•Р
X2 ->
Рис. 1.3
когда є и у оказывались одними и теми же для всех элементарных объемов резинового шнура. Во многих случаях ситуация гораздо сложнее: с одной стороны, деформации меняются от точки к точке (неоднородные деформации), а с другой стороны, они не являются одномерными. Последнее означает, что деформации в некоторой точке P описываются тремя деформациями растяжения єп, є,,, є„ маленького кубика с точкой P внутри (рис. 1.3) и двумя сдвигами каждой из трех граней кубика: у12, у„; у21, у23; у31, у32. Здесь первый индекс і означает, что грань кубика перпендикулярна оси Xi, второй индекс j означает, что грань смещается вдоль оси Xj. Таким образом, неоднородные деформации в каждой точке тела в общем случае характеризуются набором девяти величин, являющихся функциями координат. Эти девять величин составляют тензор деформаций, однако независимы лишь шесть его величин.
Рассмотрим несколько подробнее подход, используемый для описания деформации в некоторой точке P и приводящий к понятию тензора деформаций. Пусть тело находится в недеформированном состоянии, и известно положение каждой из его частиц, заданное радиус-вектором г относительно некоторой системы координат, как, например, положение точки P на рис 1.4. При деформировании все точки тела, вообще говоря, смещаются. Смещение каждой точки можно охарактеризовать вектором
