Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
33
t
Рис. 2.1
fIllg
Рис. 2.9
такой подсчет самостоятельно, вычислим ее, исходя из более простых соображений. Извлечем из сосуда тело и дольем ту же жидкость, восстановив ее прежний уровень (рис. 2.9). Если затем мысленно выделить часть жидкости, замещающую извлеченное тело, то на нее действуют те же силы давления, что и на погруженное тело (см. формулу 2.20). Их сумма Fa не только уравновешивает силу тяжести ( Fa = -mg, m - масса вытесненной жидкости), но и имеет равнодействующую, приложенную к центру масс вытесненной жидкости, или к центру объема О. Центр масс погруженного тела O1 может не совпадать с центром объема О. Это несовпадение имеет большое значение для устойчивого плавания тел, погруженных в жидкость (в кораблестроении используется термин остойчивость). На рис. 2.10 схематично изображено поперечное сечение батискафа, погруженного в воду, при этом его центр тяжести, к которому приложена
сила тяжести rrijg (ггц - масса батискафа), находится ниже точки приложения Архимедовой силы. Естественно, что при боковом наклоне батискафа момент указанной пары сил будет возвращать его в вертикальное положение.
Для тел, плавающих на поверхности жидкости, центр их тяжести всегда будет расположен выше центра объема, погруженного в жидкость, и остойчивость плавания (корабля, например) достигается выбором подобающей формы корабля и его загрузки. Хорошо известно, что карандаш никогда не плавает на поверхности жидкости в вертикальном положении. Пара сил, возникающая при неизбежном случайном отклонении карандаша от вертикали, немедленно "укладывает" его на поверхность (рис. 2.11а). Устойчиво будет плавать «горизонтальный карандаш». При его малейшем наклоне (ситуация б) он будет возвращаться в исходное горизонтальное положение. В судостроении форму судна с учетом его загрузки рассчитывают таким образом, чтобы метацентр M находился рис 2.11
FA= -mg кь>
f
{0I
' m і g
Рис. 2.10 34
Механика сплошных сред
ni|g
Рис. 2.12
выше центра масс судна в т. О. Этот метацентр является центром кривизны кривой O1O1O1 , проходящей через центры объемов погруженных частей корпуса корабля, сменяющих друг друга при его боковой качке (рис. 2.12). Из рисунка видно, что метацентр находится на пересечении плоскости симметрии судна с линией действия Архимедовой силы. При строительстве судов добиваются того, чтобы расстояние OM в несколько раз превышало расстояние OO1.
Рассмотрение гидростатики несжимаемой жидкости было бы не полным, если бы мы не коснулись вопроса о силах давления, действующих на дно и стенки сосуда с жидкостью. Удобно это сделать, обратившись непосредственно к примерам.
Пример 1. Если в цилиндрический сосуд с площадью основания S налита вода, масса которой ш, до уровня H (рис. 2.13а), то давление жидкости на дно сосуда (без учета силы атмосферного давления) приведет к
возникновению силы F =
= pS = pgHS = mg , равной весу налитой жидкости. Если на поверхность жидкости опустить плавающее тело массы Itt1, то давление на дно жидкости увеличится на
величину Ap = pgAH , где АН — высота подъема уровня жидкости (рис. 2.136). Дополнительная сила, приложенная ко дну, AF =
= Ap • S = pgAHS. Поскольку объем
цилиндрического слоя АН • S равен объему погруженной части тела, то величина AF равна силе Архимеда и, естественно, AF = rr^g. Показания весов, на которые поставлен сосуд с водой, при помещении в него плавающего тела возрастут на эту величину.
Пример 2. Если два легких конических сосуда одинаковой высоты наполнить водой и расположить их так, как показано на рис. 2.14 , то в ситуации б (а) сила давления на дно сосуда
Рис 2 14 ° площадью сечения S2 будет
а б
Рис. 2.13
Sl S2
/ \ Ip- Ir \\ Н і * \ ^ т Ч
// mW \ //
/IlllIW г шУ/
S2
а
Sl Лекция 1
35
больше веса жидкости: AF2=PgHS2 > mg. В ситуации (б), наоборот,
AF1 = PgHS1 < mg. Между тем, при взвешивании сосудов весы покажут одинаковый результат. На первый взгляд, мы столкнулись с парадоксом. Парадокс, однако, разрешается просто, если мы примем во внимание, что весы измеряют силу давления сосуда на чашку весов, равную той силе, с которой жидкость действует на весь сосуд, включая действие на его наклонные боковые стенки. В обеих ситуациях сумма всех этих элементарных сил одинакова и равна весу жидкости mg.
X
X PF
Равновесие сжимаемой жидкости.
При внутренних напряжениях плотность газов не остается постоянной. Можно считать, что давление является функцией плотности (р = р(р)), причем вид этой функции, как будет показано ниже, задается условиями, при которых находится газ. Поэтому в механике сплошных сред в этих случаях оперируют с плотностью силы W, то есть с силой, приложенной к единице массы, которая связана с силой F в (2.7) соотношением
F = Pr. (2.21)
Тогда условие равновесия (2.7) примет вид
^gradp = Г. (2.22)
В левую часть этого равенства входят давление и плотность, являющиеся неизвестными функциями координат, а правая часть обычно известна.
В поле силы тяжести 9= g = const. В этом случае поверхностями равных давлений и плотностей будут горизонтальные плоскости, две из которых P(X1) = P1 и р(х) = р изображены на рис. 2.15. Если мы введем вспомогательную функцию
