Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Модифицируем эксперимент с сообщающимися сосудами. Пусть оба колена U-образного сосуда (рис. 2.4) разделены подвижной перегородкой П, при этом правое колено заполнено водой, а левое - ртутью, плотность
которой P1 более чем в 10 раз превышает ПЛОТНОСТЬ ВОДЫ р (P1 = 13,6р). Очевидно, равновесие в этой ситуации достигается при высоте столба
hi
п P
^VSjB
I
h
Рис. 2.4
hi
Pc
7
Рис. 1.12
ртути Ii1 = — h, значительно мень-Pi
шей высоты h столба воды. Уместно помнить, что столб ртути высотой Ii1= 760 мм уравновешивает давление десятиметрового столба воды, или почти десятикилометрового столба ат-Лекция 1
31
мосферы. Поэтому для измерения атмосферного давления используют ртутные манометры, а атмосферное давление измеряют в миллиметрах ртутного столба. Такой манометр представляет собой два сообщающихся сосуда, заполненных ртутью. Один из сосудов в виде тонкой трубки запаян сверху и из него удален воздух, а второй сообщается с атмосферой (рис. 2.5).
Если измеряемые давления на 1-2 порядка меньше атмосферного давления, то можно использовать и водяные манометры (см. последующие лекции).
Завершая описание равновесия жидкости, отметим, что в Мировом океане из-за больших глубин формула (2.11) нуждается в уточнении, т.к. плотность увеличивается с глубиной. За исключением нескольких особых мест она может меняться в зависимости от географического положения в
пределах 2% от постоянной величины р = 1035 кг/м3. Обычно изменения
плотности обусловлены колебаниями температуры и солености воды.
Жидкость в неинерциальных системах отсчета.
При ускоренном движении сосуда с жидкостью наряду с силой тяжести на частицы жидкости действуют силы инерции. Распределение давлений в покоящейся относительно сосуда жидкости легко определяется из (2.9), где под U следует понимать потенциальную энергию в поле сил тяжести и инерции.
Если сосуд с жидкостью движется поступательно с постоянным горизонтальным ускорением А (рис. 2.6), то потенциальная функция имеет вид
U(x, у) =-pgx - рАу + const. (2.12)
Следовательно, для двумерного распределения давлений р(х,у) с учетом нормировки р(0,0) = р0 получаем
р(х, у) = P0 + pgx + рАу. (2.13)
Очевидно, что поверхности равного давления (включая поверхность жидкости), перпендикулярные вектору полной силы F = pg - рА , будут наклонены к горизонту под углом
д
a = arctg —. (2.14)
о
Рис. 2.6
При свободном падении сосуда (в условиях невесомости) давление во всех точках объема, как это следует из закона Паскаля, одинаково и равно внешнему давлению р0. В невесомости вследствие действия сил поверхностно- X го натяжения жидкость приобретает шарообразную форму, при которой площадь поверхности становится минимальной.
Пусть теперь цилиндрический сосуд с жидкостью равномерно вращается с угловой скоростью со вокруг вертикальной оси симметрии. Опыт показывает, что поверхность жидкости искривится так, как показано на рис. 2.7. Не представляет труда определить форму поверхностей равного давления. Поскольку наряду с силой тяжести в радиальном направлении действует и центробежная сила инерции F11 = рсо2г, являющаяся также потенциальной, то потенциальная функция U имеет вид:32
Механика сплошных сред
U(x, г) = -pgx - J pco2r2 + const, (2.15)
где г — расстояние от оси вращения. Тогда распределение давлений с использованием (2.9) получается равным
p(x,r) = p0 + pgx + ipco2r2. (2.16)
Легко видеть, что поверхности равного давления являются параболоидами вращения. В частности, поверхность жидкости, для которой p(x,r) = р0, описывается уравнением
1 (Oz 2 X =---г
2 g
(2.17)
Если радиус сосуда равен R, то разность уровней на периферии и в его центре составляет величину
. . ш |\ V2
н = ^— = —. (2.18)
2g
V 2g '
где V — скорость вращающихся частиц жидкости, прилегающих к стенке сосуда.
Замечание. Если сосуд вращать с угловым ускорением, то появится дополнительная составляющая сил инерции, перпендикулярная радиусу и
равная Fn = pr . Эта сила не будет потенциальной, поскольку ее работа, например, вдоль окружности радиуса г отлична от нуля и равна
A11 =F;-2jtr0 = 2лг02р^р
(2.19)
В силу этого равновесие жидкости невозможно: последняя будет вращаться относительно цилиндра, причем распределение скоростей и давлений можно получить, рассматривая уравнения гидродинамики, в которых должны быть учтены силы вязкости.
Плавание тел. Закон Архимеда.
Из повседневной практики известно, что на тела, погруженные в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх.
Эта сила является результатом действия сил давления f; = -рп; рис. (2.8) и
равна
Fa =^fiASi =^piASiHi. (2.20)
Здесь ASi — площадь элемента поверхности тела, Iii — единичный вектор, перпендикулярный поверхности, суммирование производится по всем элементам поверхности.
Выталкивающая сила Fa, называемая силой Архимеда, может быть подсчитана при учете распределения давления по глубине (2.11) и оказывается равной весу вытесненной жидкости. Предоставляя читателю сделатьЛекция 1