Задачник по прикладной оптике - Апенко М.И.
ISBN 5-06-004258-8
Скачать (прямая ссылка):
8 = 2вл[п2 + (гс2 -l)tg2 е,.
Решение (доказательство). При установке плоского зеркала с внутренним покрытием перед телескопической системой (на пути параллельного пучка) клиновидность зеркала, происходящая от непараллельное™ его плоскостей, вносит двоение изображения вследствие частичного отражения лучей от передней плоскости без покрытия. Обозначим углы падения и преломления на передней (первой) поверхности через е, и углы падения и отражения на задней (второй) поверхности через е2 и ?2^ углы падения и преломления при вторичном преломлении на передней поверхности через е3 и е/ (рис. 9.5). В доказательстве не учитывалось правило знаков, так как углы 8 и 5 не имеют знака.
Применяя формулу закона преломления к первой поверхности, найдем и sin е,'= sin е,. Из треугольника А,АгК устанавливаем
+ 9 или ? ' = ?, _ 0 Аналогично этому из треугольника А-.АЖ, имеем е2' = е3 - 0. ^
sin ¦КЭК/ ^е- ^= Iе:" то е," + 0 = - 0- Поэтому е3 = е,' + 20 и
з ~ sm(e,' т 20). Но по закону преломления для точки А}
sin е3' = п sin е3 = п sin (е/ + 20).
&гличаЛИ Клинови'дность зеркала незначительна, то угол ?3' должен ться на малую величину от угла отражения
Эт° зна'ЗОЖНМ’ ЧТ0 ~ Е| + где ^гол Двоения ^ = ^BS". Подставив чение в предыдущую формулу, найдем
sin (е, -г 5) = п sin (е/ + 20).
ч,1енамиаГаЯ СННУСЫ в РЯД Маклорена и ограничиваясь первыми Ра! !°жения, получим sin е, — 5 cos е, = п sin е>' - 2п 0 cos е/.
Преобразуем полученное выражение с учетом закона преломления: 8 = 2пв cos е.'/cos et. Так как cos е,' = д/l - sin2 е, /п2 и cose, = = д/1-sin2 е, , то
6 = 20^(n2 — sin2 е, ]/(l—sin2 е,)=
= 20д/л2 + (п2 - l)sin2 е, /(l - sin2 е,).
Учитывая, что sin2e,/(l-sin2e,) = tg2e„ получаем окончательную формулу для угловой величины двоения 6 = 20^/л + (л2 -1 jtg2 е,
Задача 9115. Вывести формулу для хроматизма в угловой мере 6F'-bc- для плоского зеркала с внутренним покрытием, если угол клиновидности зеркала 0.
Решение. Найдем, например, разность углов 6 для лучей линий F' и СДифференцируя формулу угла 8 двоения зеркала, получен-ную в задаче 9.14, АЪР- 20 (2п + 2п tg2e,)A/i/[2 -Jn2 + {п2 -l)tg Е, ], где An=nF.~ пС; находим
А5г_с- = 2вп (l + tg2 е, )(пг - пс)/-\]п2 + (и2 - l)tg2 е,.
Последнее выражение может быть преобразовано так
Д8^_с- = 2и0 (nr -/ic.y[cos2 Е,л/л2 + {п2 — 1 )tg2 Е, ] =
= 2/i0 (nF> -/ic.)cose^cos2?|^//i2 cos2e, +п2 sin2 Е, - sin2 Е, ] =
= 2/i0 (rtf -nc)[[coszx^n2 -sin2 E, ].
Если ?, = 0°, то cos E,= 1, sinE, = 0, и формула принимает вид ДSp_c - 2и0 (пр-nfS)jn = 20 (nF> - пс).
Если е, = 45°, то cose,=1Д/2, sinЕ, = l/V2 и формула имеет
вид
A&f'-c' = 4л0 (rip- — пс )/ л/2и2 — 1.
Задача 9.16. За объективом с фокусным расстоянием/'= 120 мм, относительным отверстием 1:4, угловым полем 2(0= 12° установлена призма БкУ-45° на расстоянии dx = 30 мм. Входной зрачок совпадает с оправой объектива, принимаемого бесконечно тонким. Найти длину хода луча в призме.
Решение. Диаметр входного зрачка D =f'/K =* 120/4 = 30 мм. Диаметр полевой диафрагмы, установленной в плоскости действительного изображения, Dw = 2fJ tg а) = 2-120 tg 6° = 240 0,105 = 25,2 мм.
254
Длина хода луча в призме / = kDcan?, так как к = l/DCBnp, поэтому надо определить световой диаметр призмы. Поскольку Dnл< D, то Dcs призмы надо определить на передней грани по ходу верхнего полевого луча при со < 0 (рис. 9.9).
Рассчитаем ход верхнего полевого луча по формулам произвольных тангенсов.
j/,. = D/2 = 15, Р, = tg со = tg (-6°) = -0,105;
Р2»= K + yJfob- K + DUfJ = -0,Ю5 + 30/(2-120) = 0,02;
Л. = У..ЧР2в= 15 -30 0,02 = 14,4;
?>свпР=2уь=214,4 = 28,8.
Длина хода луча в призме БкУ-45° / = Щ. = 2,111?> =
= 2,11128,8 = 60,8 мм.
Задача 9.17. Рассчитать линзу Френеля (рис. 9.17) с фокусным расстоянием 200 мм, толщиной d= 10 мм и диафрагменным числом К= 1, проецирующую изображение точечного источника в бесконечность. Материал линзы — полиметилметакрилат (ле= 1,49). Расстояние между соседними ступеньками Ah = 0,2 мм. Найти оптимальную ориентацию плоской поверхности. Для трех крайних зон вычислить угол профиля ф.
Решение. Вначале проверим, не происходит ли полного внутреннего отражения на ступеньках поверхности для двух ориентаций.
1. Первая поверхность — плоская.
Так как АГ= 1, то tg оА = tg а, = -0,5, sin а, =-0,4472, sino3 = 0. Найдем предельное значение sin о3, т. е. sin а3 пред
sinс?зпред = [sinсу, ±л/(«2 -l)(«2 -siп2а,)]/л2;
sin а3пред = [-0,4472 ± лДГ,492 -l)(l,492 -0,44722 )]/l,492 =
= 0,5057, sin а3< 0,506 — полного внутреннего отражения не происходит.
2. Вторая поверхность — плоская, тогда sin а, = 0, sin а3 = 0,4472, sin°зпри = л/!"2-1)/я2 = л/15492 — 1 /1,492 = 0,4975, sin а3 < sin сг3пред,
также отсутствует полное внутреннее отражение.
Формула для угла ф наклона профиля справедлива, если на ступенчатой поверхности не происходит полного внутреннего отражения.
Теперь найдем оптимальную ориентацию плоской поверхности, т. е. для которой угол ф меньше по величине,
tg ф = (sina3 -sino^/sln2 - sin2 a, -cosa3.
Если первая поверхность плоская, то <73=0, sin а, =-0,4472, tg ф = (0 + 0,4472)/Л/1,492 - 0,44722 - 1 = 1,0615, ф = 46,708°.
