Задачник по прикладной оптике - Апенко М.И.
ISBN 5-06-004258-8
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Для данной линзы rx-r2-d, т. е. линза является концентрической, поэтому главные точки совпадают друг с другом и с центром кривизны поверхностей линзы, sw=r,, s',r=zr1.
Для определения фокусного расстояния преобразуем формулу оптической силы линзы в воздухе, подставив условие концентричности г,- r7= d:
Ф = ± = (п-1)
1
+
, (и-О2О
>.)
= («-0
(*-02
п
I_i '
г г-
гхг2 г, г,
п
о
+
12
И- 1
1 1
п -1 d г, г.
п
I 2
В результате получаем/'= 1/Ф= лг,г2/[(г2- r,)(n - 1)] = 1,5183- 100х х120/(100- 120) (1,5183- 1)] =-1757,63, /=-/'= 1757,63.
Так как sH = rt = 120, то sF = s,f+/= г, +/= 120 + 1757,63 =1877,63. Учитывая, что s'H ¦ = r2 = 100, можно записать s'F. = s' н. + /'= r2 + /'= = 100 - 1757,63 =-1657,63.
Задача 9.2. В линзе-шаре задний фокус совпадает с вершиной второй поверхности. Определить показатель преломления стекла и найти стекло со значением пе, близким к вычисленному.
Решение. В соответствии с условиями задачи s'r= 0. Используя формулу оптической силы линзы, выведем соотношения для /', а затем для s'r линзы шара, учитывая, что г, = -r2 = г, d = г, - г2 = 2г, = = ~2гг.
Для /' имеем /'= пг, ![2(п - 1)]. Линза-шар является концентрической, у которой s„ = г,, = г2. Действительно, учтя, что d=2r] и
полученную формулу для фокусного расстояния/', из уравнений для s„ и s’н¦ имеем записанные выше равенства:
sH =-/'(n-l)rf/(nr2)=2/'(n-l)/« = r,,
246
S„. =- f'{n-\)d I (nr,) = If (n-\)/{nr2)=r2.
Поэтому V - f + s'H- = nr, /[2 (и -1)]+ r2 - щ /[2 (и -1)]- r, = r, (2 --/?)/[2(«-l)], тогда получаем, что n = 2, если s',-. = 0. Близкое значение пе имеет стекло СТФ2 (ие= 1,9554). линзы-шара из этого стекла получим s',-. = 0,223. Если п=2, то /'= г,, и так как линза находится в воздухе, то /= следовательно / = г2.
Задача 9.3. Симметричная двояковыпуклая линза, сделанная из стекла е= 1,5183), имеет (j е расстояние 100 мм, тол-
щину 5 мм. Определить радиусы кривизны линзы, сположенной в воздухе.
Решение. В симметричной линзе г2=—г,. Это условие подставим в формулу фокусного расстояния линзы и преобразуем ее.
/' = пг\г2/{(« — 0 [« (гг ~ П)+ d (п -1)]}=
2/[-(л-1)л2г,+ </ (л-1)2],
-~пг.
откуда
или
/i2-2/,(«-1)ri +f'd (n-\)Z/n = 0.
Подставив численные значения, имеем: г,2- 103,66 + 88,4657 = 0,
откуда г, = 51,83 + 50,9694, г, = 102,799 - 102,8.
В результате получаем г, = 102,8, гг= -102,8.
Задача 9.4. Найти фокусное расстояние и задний фокальный отрезок тонкой линзы Манжена, образованной линзой, для которой г, = -100 мм, г2 = -200 мм, с/ = 0, а вторая поверхность покрыта отражающим слоем. Линза выполнена из стекла К8 (пе= 1,5183).
Решение. Запишем конструктивные параметры линзы Манжена, учитывая, что по ходу луча для расчета линза имеет 3 радиуса кривизны и 2 толщины, причем после отражения от второй поверхности меняются знаки на противоположные у показателей преломления сред, т. е «3 = ~п2 = -п, п4=-1, но г3 = г,:
г, = -100 I п ! <1 Di
г2 = -200 d} °
г|=-юо ^=0 :;-5183
Фокусное расстояние и задний фокальный отрезок (f'=a'F¦) можно определить для бесконечно тонкой линзы Манжена двумя способами: используя формулу для оптической силы тонкой линзы Манжена, предварительно выведя ее, а затем переходя к фокусному расстоянию, или расчетом хода параксиального луча.
247
Первый способ. Оптическую силу тонкой линзы Манжена можно получить суммированием оптических сил отдельных поверхностей по ходу луча, т. е.
ф=«4//, = Ё(пу-«уК =E«-«v)Pv
V=1 V=1
Из этой формулы получаем
Ф = (п2 - л, )р, + (пу ~п2)р2 + (л4 - л3 )р3 = (л - l)pi - 2лр2 +
+ (и-1)р, = 2 (и -l)p, -2ир2 = 2 (и -1)(р, -р2)-2р2.
Подставим числовые значения в полученную формулу: Ф = 2(п -~ 1) (Pi-Р2) - 2р2= 2(1,5183 - 1) [1/(-100)- 1/(-200)] -2/(-200) = =0,048 17, в результате имеем /'= 1/Ф = -207,598, т.е./'=207,6 мм.
Второй способ. Рассчитаем ход первого параксиального луча, для которого а, = 0; примем А = 10, причем А, = А2 = А3 = А, т. к. линза тонкая.
сх2 = А, (и - 1) ИГ) =10 (1,5183 - 1)/[(1,5183)(-100) =т-0,034 1369; а3 = п2а2/пг + А2 (и3 - п2)1п}г2 = па2/(-п) + А (-« -и) /(-лг2) = -с^ +
+ 2h/r2 = 0,034 1369 + 2-10/(—200) = 0,065 8631;
ос4 = и3ос3/л4 + А (и4-л3)/л4г3 = ла3-А (и- 1)/г3 = 1,5183х
х0,065 8631 - 10 1,5183 - 1/(-200) » -0,048 17;
/' = А,/а4=-10/0,048 17 = -207,598;
s'р' — А3/а4= А,/а4 = -207,598, т. е. /' = а'г-= -207,6.
Задача 9.5. Найти фокусное расстояние и задний фокальный отрезок линзы Манжена конечной толщины (рис. 9.1), для которой */ = 10 лш, взяв остальные данные из задачи 9.4. Сравнить значения фокусных расстояний линзы конечной толщины и тонкой линзы из задачи 9.4.
Решение: Запишем конструктивные параметры линзы, учитывая, что л4 = -л, = -1, л3 = -л2 = -л, г, = г3, */2 = -dv
S--1S0 4-10 :}-5!83
Задачу можно решить расчетом хода первого параксиального луча из бесконечности, когда а, = 0. Примем А, = 10, тогда а2= А, (п -
- 1)/(лг,) = -т0,034 1369, такое же значение, как и для тонкой линзы;
А2 = А, - </,02= 10 - 10 (-0,034 1369) = 10,3414;
а3 = -а2 + 2h2/r2 = 0,034 1369 + 2-10,3414/(-200) = -0,069 2771;
