Задачник по прикладной оптике - Апенко М.И.
ISBN 5-06-004258-8
Скачать (прямая ссылка):
Р, = 1/4; Wx = 1/2; 5, = 6/4=-1/4 и тогда Р, + 5] = 0; iSj] = д/|(Р| + 5() + Wx = 0,5,
т. е. те же значения, что и в системе Кассегрена.
Предлагается самостоятельно доказать, что при sp= 0 для зеркального параболоида
Sju — 1; SIV = -1; Sy = 0, а при sp & 0, Sj}j = у +1;
S1V=-1; Sv=3/2y2 + 2y.
Задача 8.14. Доказать, что классическая система Мерсенна по схеме Галилея свободна от сферической аберрации, комы и астигматизма третьего порядка и имеет только кривизну поля и дисторсию.
Решение. Аберрации третьего порядка характеризуются суммами Зейделя Sb ...,SV, поэтому достаточно доказать, что S~= 5и“= 5Ш"= 0, а Slw Ф 0, 5V 0. Формулы для определения сумм Зейделя приведены в задаче 8.13.
Классическая система Мерсенна состоит из двух отражающих параболоидов, для которых коэффициент деформации Ь = -е2 = -1. Примем нормировку для первого и второго вспомогательных лучей: А, = -1; .02=1; а, = а3= 0; Р, = 1, тогда/' = -1. Так как sp= 0, то ^,=0, тогда Р2=Р,, = -1.
Вычислим ишфриант Лагранжа — Гельмгольца для второй среды (после первой поверхности) I = п[ , учитывая, что
230
п{ = -1; s'P-=0 ; 5/ =/' = -1; Р/ = -1; а,' = а2 = 1, получим, что / = 1. Расстояние между зеркалами d можно определить как d=f'-f2', а Г =/'///, тогда /г’=/'/Г. Если = то /2' = -1/Г и d = -\ + \IT = = (1 - Г)/Г.
Определим высоты первого и второго вспомогательных лучей на второй поверхности параболоида:
h2 = h,-da2 = -\-d = -\ + (Г- 1)/Г = -1/Г;
^, = 0; yi = yx-d^d=(\-Y)/T.
Вычислим коэффициенты В, и В2, входящие во все суммы Зейделя, кроме $iv> по формулам задачи 8.13:
S, = 6,(-l)7(-l-l)2 = -6,/4=l/4;
B2 = b2-V/{\ + 1)2= -1/4, а также поверхностные аберрационные параметры:
Л = [(1-0)/(-1-1)]2(-1-0) = -1/4;
W, = 1/2;
Л=[(0-1)/(1 + I)]2 [0 - 1/(-1)] = 1/4;
W2=-1/2, тогда
Р, + В, = 0; Р2 + В2= 0; Ж, + Ж2 = 0.
Вычислим суммы S{°, ..., Sv“:
S,°°= h| (P, + 5,) + h2 (P2 + B2) = 0;
V=.F, (Л+ S.) +>'2(^2 + B2) -W,-W2 = -(W, + иу = 0; V = (У,2/Л,) (Л+ 5i) + (Уг^г) (Р2 + #2) - ФЛ) ^ -
- (2_у2//г2)^2+ (l//ij) (а2/и2- ос,/и,) + (1 //г2) (а3/и3- а2/и2).
Учитывая нормировку первого и второго вспомогательных лучей, значения величин h2, уг, выраженных через Г, а также значения параметров Pv, получим
5ш 2 )+ М" О- Г [0 -1/(-1)]= 0 ;
с _ ^ ^2^2 “^1^1 , ^ сс3п3 — а2л2 _
О |у ”—
ft, л2л, /i2 пъп2
^w-r)?i)-r-u
При вычислении Sv~ надо учесть, что первое слагаемое равно
V=1 **у V
• равно нулю лишь для систем,
нулю, а последнее •
расположенных в воздухе, поэтому
v= (3y,W) ^-(3y2W) W2+(yx/hx2) [3(а2/л2-а,/л,) +
+ (oyi2- а^О/пгИ,] + (у2/Л22) [З(а3/л3 - а2/л2) + (<tyi3-а2л2)/л3л2],
но у, = 0; а, = а3 = 0; л2 = -1; л, =* 1; и3 = 1, тогда после преобразований получим 5У"= (1 — Г)(3 + Г)/2. В результате 5,"=51,“=5Ш“=0; 5IV= = Г- 1; 5V“= (1/2) (1-П(3+П-
Задача 8.15. Написать уравнения профилей поверхностей классической системы Кассегрена и формулы для определения радиусов кривизны в их вершинах, если известны вынос плоскости изображения 5 и коэффициент экранирования к, = h2/hl~
Решение. Классическая система Кассегрена, свободная от сферической аберрации, состоит из главного зеркала — параболоида вращения и малого зеркала — гиперболоида вращения. Обе поверхности являются анаберрационными. Уравнение профиля асферической поверхности второго порядка можно записать в общем виде
2r0z- (1 -e2)z2,
где г0 — радиус кривизны в вершине (вершинный радиус); е — эксцентриситет поверхности. Для параболоида е-1, поэтому уравнение параболы имеет вид 2r0z.
Найдем значения радиусов кривизны (г&) в вершине и величину эксцентриситета второй поверхности. Для этого выполним габаритный расчет системы. Принимая /'= 1 и нормировку первого вспомогательного луча а^О; а3— 1; /»,=/'= 1, получим: d-8- к,, где к=h2,
<*г= (1 ~ K)!d = (1 - к,)/(8 - к,),
r01 = l/Oj = 2 (5 - kJ/(1 - к,);
гог= 2кД 1 + щ) = 2к,(5 - к,)/(1 + б - 2*,).
Уравнение профиля поверхности главного зеркала имеет вид
2 Л 4 (5 - к )
У\ = 2roizi= |" zi- (8-4)
” э
При записи уравнения профиля поверхности при заданном фокусном расстоянии системы надо помнить, что здесь все величины вычислены при/'= 1. Определим эксцентриситет второй поверхности ег ~ is2 - s2)/(s2 + s2). При принятой нормировке s2 = h2 * к,. Так как Л2/А, = s2/f'= к,, то
232
*2 =кэ (г„,/2)=кэ (6-K,)/(l-K,) и
_k3-[k, (8-k3)/(1-kJ]_ l-s
<?•> =
кэ+[кэ (5-кэ)/(1 — кэ)] 1 + 5-2к,'
Уравнение профиля поверхности второго зеркала—гиперболоида, имеет вид
У 2
4кэ (5-кэ) 1 + 8-2к.
1-6
У
1 + 8-2кэ
2 •
(8.5)
При переходе к заданному фокусному расстоянию в формулах (8.4) и (8.5) следует умножить на /' коэффициенты при z в первой степени, т. е. записать 2r^f'\
2 4/(5-kJ .
У' 1-к. "
У 2
4.ГК, (8-к,) 1 + 8-2К,
z, -
1-
1-5
1 + 8-2к,
2 ¦
Уравнение профиля сферической поверхности с радиусом, равным радиусу кривой второго порядка в вершине, имеет вид
У о =2r0z-z2.
Подставив значения г01 и г02, найденные при габаритном расчете системы, получим
У о1 =
_ 4/(8 -кэ)
1-к,
zoi 2 о
г _ 4/'кэ (8 - кэ) ^02“ 1 + 8-2К.
Z02 2'
02-
(8.6)
