Задачник по прикладной оптике - Апенко М.И.
ISBN 5-06-004258-8
Скачать (прямая ссылка):
то
4 r. 16 r,3 32 r,5
226
Найдем величину продольной сферической аберрации, вносимую одиночным вогнутым зеркалом с фокусным расстоянием/' = -100,0 мм и относительным отверстием D/f' = 1:2. Так как /,' = -100, то г, = = -200,0, тогда для As', принимая h = т, получим:
m 12,5 17,7 21,6 25,0
As„', вычисленная по формуле 0,196 0,394 0,591 0,790
As„' из расчета хода лучей на ПЭВМ 0,196 0,393 0,591 0,790
Сравним значения аберраций, полученных расчетом хода лучей и по формуле. Совершенно очевидно, что формулу для As' можно использовать при определении аберраций одиночного зеркала с точностью 0,01 мм, если в формуле ограничиться только двумя первыми членами.
Задача 8.12. Сравнить величину отступления от условия синусов в трех системах, имеющих 5,7= 1/2 при sp= 0: зеркальном параболоиде; двухлинзовом несклеенном объективе-отражателе; отдельном сферическом зеркале, если = /' = -200,0 мм\
D/f' = 1:2.
Решение. Радиус кривизны в вершине для отражающего параболоида г0 = 2/' = -400,0; уравнение профиля поверхности у2 = 4/'z = = -800z. Известно, что для параболоида Af' = z. Из решения уравнения получим для различных зон зрачка следующие значения величин отступления от условия синусов: Af'mH) = 0; A/'m=2S = -0,781; bf 'm-is= -1,562; ДГ^з.3=-2,343; ДГ^о=-3,125.
Для отдельного сферического зеркала г = -400,0; /' = hi sin o'; Af' = f' -/'. Из рис. 8.9 видно, что o' =2е'; sin o' = 2 sin e' cos e'. Ho e' = -e; sin e' = -sin e; a sin e = -h/r, поэтому
A/' = ry ho'/' = r!2, поэтому
sin o' = 2 (h/r)^ 1 - (h/rf; /' = rj 2^1 - (h/rf 2^l-(h/rf]-f,
Так как
?' = ('¦/2)^i/V1 “ (h/rf )"»]•
Ai'“ = (r/2) l-^l/л/l ~(h/rf J,
15*
227
то величины As'” и Д/' одинаковы по а олютной величи и противоположны по знаку. вогнутого зеркала Д/'< 0; As'” > т. е. As'~ = —Af'.
Найдем значение Af для сферического з кала при /'= -200, 4Г„-25 = -0,392; Afm=}S = -0,770; ДГт=50 = -1,581.
При расчете исходного варианта двухлинзового о ектива-отра-жателя, эквивалентного параболоидному зеркалу, был получен ант системы со следующими ктивными параметрами:
Dr-
d,= 10,4 1' 1,5489 БК8
d,= 3,6 1
d,= 10,4 1,5489 БК8
d„ = -10,4 -1,5489
ds= -3,6 -1
</. = -10,4 -1,5489
100,0 105,0
/-, = оо
г,= 1247,02
/-,= -599,198
/-„= -408,626
г5= -599,198
г6= 1247,02
Г, = оо
-1
= -200,012; .v'F- = -183,07.
Расчет точным путем на ПЭВМ величины отступления от условия синусов дал следующие результаты: Д//т,о=0; Af'm^ = = -0,766; Д/'т,35=-1.517; Д//т,43,з=-2,286; Д/'т„50=-3,071.
Сравнивая результаты вычислений, можно сказать, что величина отступления от условия синусов для объектива-отражателя незначительно отличается от величины А/' для параболоида.
Задача 8.13. Доказать, что система Кассегрена свободна от сферической аберрации третьего порядка и имеет кому третьего порядка, равную коме зеркального параболоида при условии, что sp = 0, т. е. центр входного зрачка совпадает с вершиной параболоида.
Решение. Система Кассегрена состоит из двух зеркал, имеющих форму анаберрационных поверхностей — параболоида и гиперболоида.
Примем следующую нормировку первого и второго вспомогательных лучей: Л,=/'= 1; ос3 = 1; (3, = 1; у, = s . По условию задачи: ai= 0; jy, = sp = 0. Вычислим fi2 = —(3, = — 1; уг = yt - d§2 = d\ А2 = А, - da2. Так как к,= А2/А|, то d=( 1-к,)/а2.
Коэффициент деформации первой поверхности 6^-е,2, где е, — эксцентриситет, но для параболоида е,= I, поэтому А, = -1.
Определим эксцентриситет второй поверхности — гиперболоида вращения.
Известно, что эксцентриситет анаберрационной отражающей поверхности при s, Ф равен
е = (s'- s)/(s' + 5),
поэтому
ei ~ 0*2 — S2)/(S1 si)-
228
Однако s2= h2/a2=ic/a2; s2 = /i2=k„ тогда
iV-kJc^_ a2-l.
кэ + кэ/а2 a2+1
; b2 - e2 — ¦
a-, +1
Для решения задачи воспользуемся записью коэффициентов аберраций третьего порядка (сумм Зейделя) в общем случае, когда система состоит из сферических и асферических поверхностей:
5, = ?av fo + *v); (pv + 5v)-/X^v;
V =] V = l V = 1
sm = x {yl Ik )to+*v)- 2/i (yv /к Я +
V = l V=1
+ /21(1/Лу)5(аУЯ); 5IV=inv/Av;
V = 1 V = 1
‘S’v =1 frvAv)(^v +^v)-3/i(>'v2Av)^v +
V = 1 V = 1
+12I G\ Av )[35 (a/«X + Пv ]- /3 i (l/^v )8 (lAv)>
где
Bv = fev[8(«vav)]3/(8/7v)2; коэффициент деформации, равный -ev2.
Определим параметры:
Р2 =
1/и2-1/и,
n, n,
a, a-,
rt, Л,
(«2 - «1 )
= (a,., - у )J = b, fr+aj = 1 + у =
(и3-я2) (1 + 1) 4
= -7(1 + 0t2)(a2 '
229
Так как обе поверхности должны быть анаберрационными, то Р,+ 5, = О, Р2 +В2= 0. Кроме того, Wx+ W2=0,5.
Вычислим инвариант Лагранжа — Гельмгольца I = n\s'p. - j'JP'a' для второй среды (после первой поверхности), учитывая, что
и, = и2 = — 1; s р'= 0; sx —f = l/o2;
Pi = Рг= 1 > ai = a2-
В результате получим / = -1.
Так как
¦S,~ = А, (Рх + Вх)+ А2 (Р2 + Вг), то 5” = 0;
5и =У\ {Р\ + Bi)+ Уг (P2 + B2)+Wl + W2 ,то 5,7 =0,5.
Для отражающего параболоида примем А, = 1; сх, = 0; <Xj = -l, тогда /'= A,/a2=-1, коэффициент деформации 6, = —е,2 = —1; и так как
sp- 0; s'p-= 0; Р, = 1; Р,' = -1, то
I = n'(s'p.-s') a'P'= -1.
При принятых условиях нормировки получим
