Задачник по прикладной оптике - Апенко М.И.
ISBN 5-06-004258-8
Скачать (прямая ссылка):
Задача 2.21. По данным задачи 2.20 определить фокусное расстояние компонента, его увеличения и положение узловых точек, если /' = -1,7/ (рис. 2.35).
Решение. Переднее фокусное расстояние равно /=-/71,7, а расстояние от компонента до предмета
a=z+f=z _/71>7 = (i,7z-/0/1,7.
Рис. 2.35. Расположение узловых точек в компоненте при -/*/' 68
По формуле Гаусса
/'/o'+//0=1. Подставляя значения / и а, получим
/7a'-/7(l,7z-/') = l,
откуда
/'2- 1 ,lzf' + 1 ,la'z = О
/' = 0,85z ± ^(0,85zf-1,7a'z = -340,0 ± 428,49.
Так как /'> 0, то /' = 88,49 и переднее фокусное расстояние /= = -/71,7 = -52,05.
Неравенство переднего и заднего фокусных расстояний по абсолютной величине говорит о том, что компонент находится в неоднородной среде. Фокусные расстояния связаны с показателями преломления выражением ///' = -п/п'.
Если в пространстве предметов п = 1 (воздух), то показатель преломления пространства изображений «'=1,7.
Расстояние от заднего фокуса до изображения z' = a'-f' — ff'lz = 11,51.
Расстояния от компонента до предмета и изображения а = —452,05; а' = z'+f = 100,0.
Линейное увеличение Р = ~f!z = -z'lf = -0,1301; угловое увеличение у= а/а' =/// = z//' = —4,5205 или 7=-///'р =-4,5205.
Продольное увеличение а = -z/z' = ~/'Р2//= 0,0288. Расстояние от переднего фокуса до передней узловой точки и от заднего фокуса до задней узловой точки
z„=/' = 88,49; z'N.=f=-52,05.
Узловые точки совпадают друг с другом, так как компонент тонкий.
Задача 2.22. Найти фокусное расстояние тонкого компонента в воздухе, если расстояние между предметом и изображением L = 240 мм, р = —2.
Решение. Если компонент в воздухе, т. е. в однородной среде, то -f-f'. Найдем формулы, связывающие координаты а и а' с L и Р- Длина системы L = -а + а'. Линейное увеличение компонента в однородной среде Р = а'/а, следовательно, а' = Ра. Поэтому
L = -а + ар = -а (1 - Р),
откуда
а =-1/(1- р)= -80,0 и а' = pa = —Z,р/( 1 - р) = 160,0.
69
Исходя из формулы Гаусса фокусное расстояние компонента /' = аа'/(а - а) = -1р/(1 - Р)2 = 53,33.
Задача 2.23. Определить величину изображения у, даваемого компонентом, если >» = 30 мм, -/=/' = 120 мм и z = -4z/.
Решение. По формуле Ньютона
zz' = _//2 = -144 00,0.
Так как z = -Лг, то -4z'2 = -14 400,0 и z = ±60,0.
При z' = 60,0; z = ~fnlz = -240,0 линейное увеличение
Р = У/У = -fa ~ -z'/f' = -0,5
и величина изображения = Р_у = — 15,0.
Если z' = -60,0, z = -f'Vz' = 240,0, то линейное увеличение Р = 0,5 и величина изображения У =15,0.
В этом случае предмет является мнимым, а изображение действительным (рис. 2.36). Координаты а и а' равны
а = z +/= 120,0, a=z+f' = 60,0.
Задача 2.24. Определить величину изображения у', создаваемого тонким компонентом, если у = 30 мм, -f-f' = 50 мм и L = 300 мм. Решение. Из формулы, полученной в задаче 2.22,
/' = -ip/(l - Р)2
линейное увеличение компонента будет равно Р2+(!//'-2,0) Р+ 1 =0.
Подставляя значения L и /', найдем
P2 + 4P+1=0.
Решая это уравнение, получим Р = —2,0±1,7321, Р, = —0,2679, Р2 = = -3,7321.
Рис. 2.36. Изображение мнимого Рис. 2.37. Изменение координаты а'при предмета АВ тонким компонентом перемещении компонента
70
Если Р, = —0,2679, то
а, = -1/(1 -р,) = -236,61; а,'=-1|У(1 -(},) = 63,39. Величина изображения у' = = -8,04.
Если (32=-3,7321, то аг = -63,40; а2 = 236,60; / = -111,96. Задача 2.25. Вывести формулы для определения длины отрезков я, и а2, а также фокусного расстояния и расстояния, на которое нужно переместить компонент, если линейное увеличение изменяется в к раз, а расстояние между предметом и изображением, равное L, остается постоянным (рис. 2.37).
Решение. Отношение линейных увеличений
*=Р./Р*
где Р, = а,7а,, р2=а27аг
Фокусное расстояние компонента при перемещении его на величину d остается постоянным, поэтому
r> _ а\а\ _ ai _ а\ _ а\ .
а\~а\ l~a\/a\ 1 — Pi 1-^Рг’
j-f_ #2^2 _ ^2 _ ^2
а2-а2 1 -а'2/а2 1~Р2'
Приравнивая эти выражения, найдем
a,7a/=(l-/:p2)/(l-p2). (2.1)
Так как длина системы L при перемещении компонента на величину d также постоянна, то
L = -а, + а\ = —а2 + а2.
Но а| = а,7р,, а2=а//р2, поэтому
«Г [(1 - Pi VPi 1= «2 [(1 - р2 )/Р2 ]: 22
«Г/«2 = О —Р2)^/(1 —^Рз)-
Приравнивая формулы (2.1) и (2.2), получим Р2 = ± 1 j-Jk , а Р, = ±4к . Так как нас интересуют действительные предметы и изображения положительного компонента, то перед корнем необходимо поставить знак «-», т. е. Р2=-1 /4к , тогда Рх-~4к . Найдем формулы для определения а, и аъ выраженные через L и к:
L = -ax+a[ = -ax+a$x =-a,(l-P,);
L - -а2 + а'2 = —а2 + а2Р2 = -а2 (l - Р2),
откуда
71
a1=-JL/(l-P,)=-V(l + V*},
a2 = -L/(l - P2 )= -W*/(l + 4k ).
Для отрезков a , и a'2:
a'\ = aiPi = L-Jk l^ + -Jk\ a2=a2$2= Lfo + 4k).
Сопоставляя формулы для a„ a2, а' и a2, видно, что a'=-a2, a2 = -a^. Фокусное расстояние компонента
f' = axa\/(a, - a\) = a,2p, /(a, - a,p,) = a,P, /(l - P,)
или
f = -ax-Jk l^ + 4ic\
Заменяя a, его значением, получим
f' = Lsfk/^ + sfk)2.
Расстояние, на которое следует переместить компонент, можно определить по формуле
-a, + d = -а2,
