Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
n=2 h= 1
(1.6.2)
где / - постоянная притяжения, тп и r0 - масса и средний экваториальный
радиус Земли; Cnh и Snk - безразмерные коэффициенты, зависящие от формы
Земли и распределения масс внутри нее; Рп и Р(пк) - полином и
присоединенная функция Лежандра, причем
Р(пЮ (2) - (1- z2)h/2 . (1.6.4)
Разложение (1.6.2), согласно замечанию 1 § 1.5, сходится абсолютно и
равномерно при
г >~г,
где г - радиус-вектор наиболее удаленной точки земной поверхности.
§ 1.6] ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛА ПРИТЯЖЕНИЯ ЗЕМЛИ 25
Так как ось Ot, совпадает с осью вращения Земли, т. е. с одной из главных
центральных осей инерции, то на основании замечания 2 § 1.5
С21 = 0 и S 21 = 0.
Формула (1.6.2) была рекомендована Комиссией № 7 Международного
Астрономического Союза как стандартная форма записи потенциала притяжения
Земли. В литературе, однако, широко распространены и другие формулы для
потенциала. Отметим здесь главные из них. Прежде всего имеем
U _ JjL { i - ^/п(-7-)П-Рп(зтф) +
п-2
СО ?1
+ 2 2 Jnh (^ )>" > (sin Ф)cos * (* - Къ)} , (1.6.5)
п= 2 h=i
где новые коэффициенты и связаны со старыми Cnk и Snh равенствами *)
Cnh = Jnh COS kXnk, 1
С ____ Т airi кх I (1.6.6)
&пк "'nft Sill J
ИЛИ
Jnk = VC2nh + S*nh, tg kXnh = -^. (1.6.7)
Формула (1.6.5) удобна при теоретических исследованиях.
Заменим теперь в разложении (1.6.2) PW нормированными присоединенными
функциями Лежандра р'М согласно равенству
*) В некоторых работах вместо используются величину
¦fn *^пш
26
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
[ГЛ. I
Тогда потенциал U запишется в виде
ОО
и - {1 ~ 2 М^гГРп (sin(P) +
71=2
+ 2 2 (т" Г pnh) (sin ^Ank cos кх+Bnh sin ^} '
(1.6.8)
n-2 k=l
где коэффициенты Ank и Bnk связаны с Cnh и Snh соотношениями
^nk - ~\f 2{п - А)! Cnk' Впк - ]/Г 2\г^к)\ ^nh' С1-6-9)
(п- /с)!
Если, наконец, в разложении (1.6.2) заменить PW полностью нормированными
функциями Лежандра р^:
рМ (z) = У2п + 1 У 2(^+,),)! PV (*),
то будем иметь еще одну формулу для U:
ОО
U = J?l |i _ ^ /" ( ~Т~ )П Р п (sin ф) +
п=2 оо гг
+ 22 {'тТ Р^п (sin ф) cos к% + snh sin щ | ,
(1.6.10)
п- 2 h~ 1
где
с
' -i/JUi
nk У 2 (n
+ ,rH Cnfe
(n - k)l Y2n + l ' <? -/W
nft К 2(n~k)\
>nh
'.{n~k)\ y2n+i '
(1.6.11)
Формула (1.6.10) часто используется в работах, связанных с определением
коэффициентов гравитационного поля Земли.
§ 1.7] ЗОНАЛЬНЫЕ И ТЕССЕРАЛЬНЫЕ ГАРМОНИКИ
27
§ 1.7. Зональные, тессеральные и секториальные гармоники
Рассмотрим структуру разложения потенциала U: и = Ц.'{\- 2 /" Рп {sin
ц>) +
+ 22 (~У {sin ц>) [С nh cos kk + Snh sin кХ]^ .
n= 2 ft=l
(1.7.1)
Все члены этого разложения можно разделить на три типа. Пусть к = 0.
Тогда мы будем иметь члены вида
{т
Поскольку полином Лежандра Рп имеет п действительных различных и по
абсолютной величине меньших единицы корней, то на сфере Рп (sin ср) будет
менять знак на п параллелях. Таким образом, сфера разделится на п + 1
широтных зон, в которых этот член будет попеременно принимать
положительные и отрицательные значения. Такой член называется
зональной гармоникой порядка п. Распределение положительных и
отрицательных значений рассматриваемой гармоники для п = 4 приводится на
рис. 2.
Пусть 0 < к <; п. Тогда мы будем иметь члены вида
/го
Рис. 2. Положительные и отрицательные значения зональной гармоники для п
= 4.
~ (-7-)" CnhP(^ (sin ф) cos кХ
-у~{-т)П SnhPn) (sin ф) sin кХ,
28
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
[ГЛ. I
которые обращаются в нуль на п - к параллелях, определяемых уравнением
dhPn (sin ф) _ q d (sin <p)fe '
и на 2к меридианах:
cos кХ = 0 или sin кХ = 0.
Следовательно, в этом случае сфера делится на п + к -(- 1 сферических
трапеций, в каждой из которых эти члены
Рис. 3. Положительные и отрицательные значения тессераль-ной гармоники
для п = 10 и к = 6.
Рис. 4. Положительные и отрицательные значения сектори-альной гармоники
для п = 6.
сохраняют знаки. Такие члены называются тессералъны-ми гармониками
порядка п и индекса к. Распределение положительных и отрицательных
значений тессеральной гармоники для п = 10 и к = 6 указано на рис. 3.
Пусть, наконец, к = п, и мы тогда получим члены вида
~ СппР^ (sin ф) cos пХ
И
("7')" SnnPn) (sin ф) sin пХ.
Поскольку
d"Pn (sin ф) _
' d(sin<p)" -РОПЭТ,
§ 1.8] ПОСТОЯННЫЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ
то такие члены обращаются в нуль только на меридианах, для которых
cos п% = 0 или sin пк = 0.
В этом случае сфера делится на 2п знакопостоянных секторов, вследствие
чего такие члены называются векториальными, гармониками порядка п.
Соответствующее распределение положительных и отрицательных областей для
п = к = 6 указано на рис. 4.
Рассмотрим теперь механический смысл различных слагаемых разложения
(1.7.1). Поскольку первый член представляет собой потенциал шара со
сферическим распределением плотности, то все остальные слагаемые
характеризуют отличие Земли от тела сферической структуры. Основным из
этих слагаемых является вторая зональная гармоника, которая определяет
сплюснутость Земли у полюсов, т. е. полярное сжатие Земли. Другие
