Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
Критические наклоны
ftcp (к м) v+V + ц V--д V-V+Ji v+X'-n v+V v-V
500 49° 70° 42° 76° 59° 67°
1000 52 69 40 78 57 68
2000 55 67 38 81 56 71
Подробно критические наклоны исследованы в работе Е. Н. Поляховой [3].
§ 9.4. Теневая функция
В общем случае движение спутника происходит так, что он то освещен
Солнцем, то находится в тени Земли. В результате этого сила светового
давления является разрывной функцией, и это вызывает основные затруд-
§ 9.4] ТЕНЕВАЯ ФУНКЦИЯ 291
нения при построении аналитической теории возмущений.
В 1963 г. Ферраз-Мелло [4], [5] предложил ввести теневую функцию, которая
равна единице, когда спутник освещен Солнцем, и равна нулю, когда он
находится в тени. Если умножить правые части дифференциальных уравнений
для элементов на эту функцию, то они будут описывать движение спутника с
учетом теневого эффекта. Ферраз-Мелло представил теневую функцию в виде
некоторого ряда Фурье. Позже П. Лала, Л. Сехнал [6] и С. Н. Вашковьяк [7]
дали несколько другие аналитические представления теневой функции.
Теневая функция Ферраз-Мелло. Рассмотрим рис. 41, на котором О - центр
Земли, PC -
часть орбиты спутника, ОС - ось тени. Предполагая, что тень имеет
цилиндрическую форму, мы имеем
sinO=-^-, (9.4.1)
и, кроме того,
X = я - Я, (9.4.2)
где Н - угол между радиусом-вектором спутника и радиусом-вектором Солнца,
а г0 - средний радиус Земли.
Обозначим через V теневую функцию. Тогда будем иметь
Г О, - Ф<Я<Ф,
1, - я<Я,< - Ф, Ф< Я,< л. (9-4<3)
19*
292
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Разложим эту функцию в ряд Фурье:
оо
^-Т+2 "ktoskk, (9.4.4)
где
я
0k=A j Ч cos kkdX. (9.4.5)
о
Разбивая промежуток интегрирования [0, л] на [О, Ф] и [Ф, л] и имея в
виду (9.4.3), мы из (9.4.5) находим
ао = ~ (л - ф)> afc = -sin АФ.
Подставляя эти равенства в (9.4.4), получаем следующую формулу для
теневой функции:
оо
?>=1 -- - 2 sin кФ cos кК. (9.4.6)
л=1
ТеневаяфункцияП. ЛалыиЛ. Сехнала. Пусть
ЧГ = 4- (1 + ¦ /ш^^3г=г I. (9.4.7)
2 I ^ cos2(A, -Ф) J v
Эта функция удовлетворяет условию
Г О, К - Ф<0,
Ml, Х-Ф>0.
П. Лала и Л. Сехнал предложили разложить функцию Ч*-в ряд по степеням cos
%. Это можно сделать следующим образом. Прежде всего имеем
- - - = у. bh cos2ft (X - Ф),
l/l-cos2(X-Ф) "0
где
, 1-3-5 •.. (2к-1)
2-4-6... (2 к) '
Но
h
cos2'1 (К - Ф) = 2 (-1У Cj sin23' (% - ф). j=0
Поэтому
ОО
1р=-|-{1+3^в1пИ+1(я-ф>}" (9-4-8)
>=о
§ 9.4]
ТЕНЕВАЯ ФУНКЦИЯ
293
где
л __ ^ I \\з 1 -3-5 .. ¦ (2к- 1)
A3-2j{- г) 2-4-6 ... (2ft) h=j
Из (9.4.8) нетрудно теперь получить следующую формулу для
ОО оо
Т = т{1+2 2 В* sin3'Ф cos'1 х}, (9.4.9)
j=0 fc=0
где Bjk суть некоторые численные коэффициенты.
Теневая функция С. Н. Вашковьяк. С. Н. Вашковьяк разлагает функцию ? в
ряд по полиномам Лежандра:
S ckPk(cosX). (9.4.10)
ft=0
Коэффициенты этого ряда, как известно, определяются формулой
я
2fe+ 1 ch 2
о
Для вычисления коэффициентов ch разобьем сначала промежуток
интегрирования [0, п] на два 10, Ф] и 1Ф, л1. Тогда, учитывая условия
(9.4.3), найдем
j (cos X) sin X dX.
n
2k+i ck- 2
Ф
Sb
j Ph (cos A,) sin XdX.
Используя теперь формулу
(2к + 1) Ph (х) = Pft+1 (x) - (x),
получим
n
Ch = - Y j [Pft+1 (cos A,) - P'k-i (cos A,)] d cos X. ф
Отсюда, принимая во внимание, что Рп (-1) = (-1)п, легко находим
с0 = -|-(1 + со8Ф)1 (9.4.11)
Сь = у- [^ft+i (cos Ф) - Pft_i(cos(r))]. (9.4.12)
294
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СВЕТОВОГО ДАВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
Подставляя (9.4.11) и (9.4.12) в (9.4.10), получаем lF = -|- (1 + собФ) +
оо оо
+ т 2 рь (c°sA)/,ft+1(c°s0) - Y 2 Ph (COS К) Рй_! (соя Ф). ft=l ft=l
(9.4.13)
Разложение (9.4.13) плохо сходится при %, = 0. Чтобы устранить это,
заменим в первой сумме (9.4.13) & на п - 1,
Л-Ф
Рис. 42. Теневые функции Ферраз-Мелло и Лалы - Сехнала.
а во второй к на п +1. Тогда окончательно найдем следующую формулу для
Ч1-:
V^{l-Pl{cosX) +
оо
+ 2 . Pn (cos Ф) [Рп-1 (cos Я,) - Pn+l (cos Я)] } . (9.4.14)
П= 1
. Итак, мы имеем три различные формулы для теневой функции Ч1-.
Графические изображения функции Ч1- даны на рис. 42 и 43. На рис. 42
пунктирная линия соответствует
§ 9.4J
ТЕНЕВАЯ ФУНКЦИЯ
295
функции Ферраз-Мелло, а сплошная - функции П. Лалы и JI. Сехнала для i =
к - 20. На рис.43 изображена теневая функция С. Н. Вашковьяк для п - 10 и
п - 20. Табл. 28 показывает поведение ? для Ф = 60° при разных п (формула
(9.4.14)).
Рис. 43. Теневая функция Вашковьяк.
Наиболее правильно геометрическую картину представляет, по-видимому,
формула (9.4.9). Формула (9.4.14) дает картину, аналогичную формуле
(9.4.6). Однако функция С. Н. Вашковьяк имеет одно преимущество, которое
Таблица 28
Значения функции У для Ф = 60°
п
К <^ 10 20 30 40 50
115°,0 1-,048 0,991 1,013 0,992 1,002
101,1 0,963 1,006 1,011 1,014 1,000
85,2 1,033 1,025 0,974 1,004 0,987
70,2 0,991 1,075 0,977 0,966 1,028
60,3 0,492 0,538 0,547 0,562 0,587
50,4 0,037 0,089 0,002 0,037 0,017
40,5 0,057 0,041 0,025 0,008 0,004
25,8 0,021 0,022 0,002 0,003 0,001
