Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
ОО
U = *\ И ^ 2 (-^Г/>П(С08'^ХЙТ- (1-5.3)
т "=0
Перейдем теперь к полярным координатам:
? = г COS ф COS К, - г' COS ф' COS X',
т] = г cos ф sin Я, г)' =г' соэф' sin Я',
? = гзшф, ?' = г' sin ф'.
2*
20
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
[гл. i
Тогда для cos у найдем
cos у = sin ф sin ф' + cos ф cos ф' cos (X - X').
Для того чтобы выразить правую часть (1.5.3) через полярные координаты,
воспользуемся теоремой сложения для полиномов Лежандра (1.3.4), которая в
данном случае выглядит так:
Рп (cos 7) = Рп (sin ф) Рп (sin ф') +
П
+ 22 1?^Р{п\зтч)Р"\8т<р')со5к(Х-Х'). (1.5.4)
А=1
Поскольку
cos к (X - X') = cos кХ cos кХ' + sin кХ sin кХ', то равенство (1.5.4)
можно записать в виде Рп (cos у) = Рп (sin ф) Рп (sin ф') +
П
+ 2^] рп') (sin ф)cos кХ (sin ф') cos /cV] +
fc=i
П
+ 2S [n+ty Р(tm) ^sin ф^sin ^ ^jP") (sin ф^ sin ft=1
Если подставить это равенство в формулу (1.5.3), то получим
ОО
и=/ s Рп (sin ф) 5 5 5 r'nPn (sin ф,) xdx+
"=о т
оо п
+ / 2 2 "Рй7 р*) (sin ф) cos кх х "=0 ft=l
х И i 2(^r r'np(^ (sin ф)cos кх'х dx+
т
00 п
+/2 2 74ri5")(sin(p)sin^x
n=0 ft=l
х 1112(iT^)!!- r'np{^ (sin sin кХ'х dx'
§ 1.5]
РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В РЯД
21
Введем следующие обозначения: mr^Jn = - j j j r'nPn (sin ф') к дл,
mr$Cnh= j j j 2(1Д+*)Г~Г'П~Р")^sinф>) cosП'xdT' (1-5.6)
т
mroSnh = j j j 2(Г-РУГ~ '* (sin Ч5')sin kK' я dr>
где m - масса тела, r0 -некоторая линеиная величина. В случае Земли в
качестве г0 удобно принять средний экваториальный радиус. Очевидно,
величины Jn, Cnh и Snk являются безразмерными.
С учетом этих обозначений формула (1.5.5) принимает вид
u= -iJr 2МтТРп (sinФ) +
п=0
00 П
+¦?¦ 2 2 (т')Прп' (sin ф) [С nh cos kX + Snk sin АХ].
(1.5.7)
n=0 k=i
Коэффициенты Cnu и Snk зависят от формы тела и распределения масс внутри
него. Рассмотрим первые из них. Пусть в (1.5.6) п - 0. Тогда, так как
P0(sin(p') = l и jjjxdT -т,
то
/0= -1.
(1.5.8)
Полагая в формулах (1.5.6) n = 1 и А: = 1 и учитывая, что
Pi (sin ср') sin ф', Р[и (sin ф') = cos ф\
22
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
[ГЛ. I
находим
mr0J 1 = - j j j xr' sin ф' dx = - j j j S' dm - - ml,0,
т т
mr0Cn = j j j xr' cos ф' cos X' dr= j j j ?' dm = m|0,
T T
mr0Su = j j j xr' cos ф' sin У dr= j j j r( dm = mr\0,
где |0, rig, So - координаты центра масс тела. Поскольку начало системы
координат 0%riS находится в центре инерции тела, то отсюда заключаем, что
/1 = 0, сп = о, su = o.
(1.5.9)
Если в формулах (1.5.6) положить п = 2 и к = 1, к = 2, то можно легко
получить следующие равенства:
С.
Е
21 :
D
С.
т 2 С-(А + В) 2 2mrl
В -А
(1.5.10)
22 4mr*
,
где А, В, С - главные центральные моменты инерции;
D, Е, F - произведения инерции, т. е.
А= j jj (л'2 + S'2)* dr, 5= jjj (?'2 + 5'2)*dt,
T T
c= Ш (^,2+Ti'2)>td'c> о==ШTi'?'xd'c'
T T
j j j S'?'*dt, F= j j Jl'Ti'xd't.
§ 1.5]
РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В РЯД
23
На основании (1.5.8) и (1.5.9) формула (1.5.7) принимает следующий
окончательный вид:
со
i7 = ±L{l_ 2/п(-^)>п(8шф) +
п=2
оо п
+ 2 2 ( Т" Г Ръ * (sin *Р) cos кК + S^h sin Лй]} •
n-2 ft=l
(1.5.11)
Сделаем теперь несколько замечаний.
1. Полученное разложение для потенциала U сходится абсолютно и
равномерно при
г >7, (1.5.12)
где г - расстояние наиболее удаленной точки поверхности тела от его
центра масс. Действительно, поскельку | Рп (sin ф) |^1, то ряд (1.5.2), а
следовательно, и
(1.5.3) абсолютно и равномерно сходится, если г > г', где г' - радиус-
вектор точки, лежащей внутри или на поверхности тела. Но max г' = г.
Отсюда и получаем условие (1.5.12).
2. Предположим, что одна из осей координат, скажем, ось 01,, совпадает
с главной центральной осью инерции. Тогда произведения инерции D и Е
будут равны нулю, а поэтому
С 21 =0 И $21 - 0.
Если принять, что все три координатные оси совпадают с главными
центральными осями инерции, то будет равен нулю также и коэффициент 522.
3. При выводе формулы (1.5.11) мы предполагали, что плотность х
является функцией лишь координат. Очевидно, эта формула будет иметь
место, если плотность х зависит также от времени. В случае абсолютно
твердого тела, как показывают равенства (1.5.6), коэффициенты
Спк и Snk будут постоянными. Если же плотность х и форма тела зависят от
времени, то Cnh и Snh будут функциями времени.
24
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
[ГЛ. I
§ 1.6. Различные формулы
для потенциала притяжения Земли
Пусть прямоугольная, жестко связанная с Землей, правая система координат
0\т]? такова, что ее начало находится в центре масс Земли, основная
плоскость |т] совпадает с экваториальной плоскостью, ось 01, направлена в
северный полюс, а ось 0\ пересекает гринвичский меридиан. Пусть далее г,
ср и X - радиус-вектор, широта и долгота:
? = г cos ф cos X, "j
Т| = т* cos ф sin X, / (1.6.1)
? = г sin ф. J
Тогда на основании предыдущего параграфа потенциал притяжения Земли во
внешней точке с координатами г, ф, X будет даваться формулой
?/ = ^-{1- 2^(^)>п(зтф) +
П=2 оо п
+ 2 2 (1г)Прп) (sin ф) [cnh cos АХ + Snh sin AX] } ,
