Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
изменения аномалистического периода обращения спутника.
Формулы (8.13.1) и (8.13.3) выведены в предположении, что атмосфера
обладает сферической симметрией, а шкала высот постоянна. Если ввести
соответствующие поправки за счет сжатия атмосферы и изменения шкалы
высот, то формула (8.13.3) запишется в виде
где а' - сжатие атмосферы, |д/ - скорость возрастания шкалы высот, Нй -
значение шкалы высот в перигее.
то
dT ___ 2л -t
1Г~ ~ "2 К'
(8.13.2)
Ро- -
,3
(l - 10eo)ff 7ff2
} . (8.13.3)
8а0е0 128 ajjefi
(1 - 10е0) Н0 _ 1Н1 а' . , 8а0"о 128 ау* ' е0
sin2 г0 cos 2 g -
(8.13.4)
§ 8.14]
ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ЖИЗНИ СПУТНИКА
273
Формулы для определения плотности в случае е > 0,2 или в случае очень
малых ей ? <; 3 можно найти в уже упомянутой книге Кинг-Хили [2].
§ 8.14. Продолжительность жизни спутника
Ранее мы видели, что под влиянием сопротивления атмосферы высота перигея,
эксцентриситет и период обращения спутника монотонно уменьшаются. Со
временем они достигают некоторых критических значений, при которых
спутник может совершить одно-два обращения вокруг Земли. Критические
значения элементов орбиты зависят от коэффициента х, пропорционального
отношению площади поперечного сечения к массе спутника. Чем больше этот
коэффициент, тем больше критический период обращения и критическая высота
перигея. На практике, однако, можно считать, что спутник прекращает свое
существование, когда высота перигея достигает 120- 150 км, а период
обращения равен 86,5-88,0 минут. При этом существенным обстоятельством
является то, что в конце своей жизни спутник движется по почти круговой
орбите, т. е. критическое значение эксцентриситета оказывается весьма
близким к нулю. Поэтому при определении продолжительности жизни спутника
можно принять за критический момент тот момент времени, когда
эксцентриситет его орбиты тождественно равен нулю.
Таким образом, нам необходимо рассмотреть изменение эксцентриситета от
начального значения до нулевого. Ясно, что использованный в предыдущих
параграфах способ последовательных приближений, позволяющий построить
решение на небольшом промежутке времени, не подходит для решения этой
задачи, и мы должны воспользоваться другим методом, который дает
возможность проследить эволюцию орбиты на весьма длительных временных
интервалах. Поэтому излагаемая в этом параграфе теория не только дает
ответ на вопрос о продолжительности жизни спутника, но и имеет гораздо
большее самостоятельное значение.
Итак, введем безразмерные переменные г) и ? по формулам
с=
ае
Н
(8.14.1)
18 Е. П. Аксенов
274 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
Тогда, отбрасывая малые члены (8.6.11) - (8.6.14), найдем
хро па2к
в уравнениях
dr]
dt
А. dt + ¦
Н
{/о
2e/i
.3
хр 0па2к
+ "4 е2 (^о + -^г) + } .
{/i+|(3/0 + /2) + '(ll/i -1~ Z3) -J-(7/0+ 8/a-f-/4) | i
(8.14.2)
где аргументом функций Бесселя служит величина ?,.
Подставим в уравнения (8.14.2) асимптотические разложения для /п, а затем
разделим первое из этих уравнений на второе. Тогда
dr]
Ж
h
Ii
(8.14.3)
2чЕ 1 ? '
где отброшенные члены имеют порядок е4.
Подставляя в (8.14.3) вместо е его выражение из (8.14.1) и используя
равенство
/i
/;+•
которое является следствием формул (8.4.2) и (8.4.3), мы окончательно
найдем следующее уравнение, связывающее переменные т] и ?:
ЙГ|
Ж
л
Jl
¦ + - Т]2
(8.14.4)
J_____1______3_
? л 2li?
Это уравнение имеет чрезвычайно важное значение в теории возмущений от
сопротивления атмосферы. Его решение является ключом для построения
точной теории движения спутника в атмосфере Земли.
В силу того, что отношение а к Н велико, три последних члена в
(8.14.4) малы. Если ими пренебречь,
решение укороченного уравнения можно представить в виде
Л - т]о =
In iiiR + in J
h (So)
где rig и ?0 - начальные условия.
So '
(8.14.5)
§ 8.14]
ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ЖИЗНИ СПУТНИКА
275
Если в формуле (8.14.5) ограничиться линейными членами, то в первом
приближении будем иметь
Т1 = Ло + ? - So- (8.14.6)
Поскольку три последних члена в (8.14.4) малы и величина г) мало
изменяется со временем, то мы в этих членах заменим т] его выражением из
(8.14.6) и сохраним малые первого порядка относительно ? - ?0. Тогда
(8.14.4) примет вид
4г==Т' + Т------------n^T+--~^° • (8.14.7)
<*? Ii I Ло 2%g T]" v >
Интегрируя это уравнение, найдем
¦п_Tin = in ¦^1 ^____- In-+ f8 14 8^
Формула (8.14.8) дает достаточно точное решение уравнения (8.14.4). Ее
максимальная (при е - 0,2) относительная ошибка не превосходит 10~4.
Заменяя в (8.14.8) величины г) и ? их значениями из (8.14.1), мы получим
следующую формулу:
^=1- -In +
Оо "о и 1 (?)
I Н (ае-а0е0) (ае - а0) 3 Н2 ^ ?0
Оо
2^Т' ^8Л4-9)
связывающую элементы а и е.
Подставим эту формулу во второе уравнение (8.14.2) и заменим функции
Бесселя их асимптотическими разложениями. Тогда после довольно громоздких
преобразований мы придем к следующему уравнению:
Л________L/lx ia._________1L.
dt, -DtJo V. 2 2r)o
