Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
будем иметь
м-4- j-1-л.
о
Для вычисления интеграла перейдем от t к новой независимой переменной Е.
Тогда, имея в виду, что при изменении t от 0 до Т переменная Е изменяется
от 0 до 2л, найдем
2 п
г 1 1 (* da dt j
WJTdE-
о
Подставляя сюда вместо ^ его выражение из (8.6.6) гг 2л
и замечая, что Т = - , получим 2п
[Д]=------па^°-к ¦ f .(i + ecosfl) фехр (? cos Е) dE.
(8.6.8)
2л J (1 -ecos ?)
О
Чтобы вычислить интеграл (8.6.8), воспользуемся следующей процедурой.
Прежде всего согласно (8.4.5) имеем
ОО
ехр (С cos Е) = /0 (С) + 2 2 In(?>)wsnE. (8.6.9)
П=1
Далее легко находим
(1 + е cos E)m (1-е cos Е)~1/2 = 1 + ^ е2 +
^ 2е + -|- е3 j cos Е + -|- e2cos2Е + -^-cos ЗЕ + • • •,
(8.6.10)
где невыписанные члены имеют порядок е4.
Подставляя (8.6.7), (8.6.9) и (8.6.10) в (8.6.8) и интегрируя, получим
3 "2 \ т I " / 9 I 3
254 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
Аналогичным образом найдем [р] = - па2р0хк { (l - -|-е2) /0 --^-/2 +
+-^•(12- 15s2) /0(8-5s2) J, } , (8.6.12)
[г] = - -j- napQxkz2sa { ( 1 -е2) /0 +
+е (1 -4 е2) л+4/н-4 7з} • (8-6ЛЗ)
В формулах для 1а] и [р] мы сохранили члены порядка е°е3 и е2е, а в
формуле для [г] члены, пропорциональные e'V. Дифференциальные уравнения
для а, р, i теперь запишутся в виде
•§-М, -?=U>], •§-[<]. (8.6.14)
Правые части уравнений (8.6.14) являются функциями элементов а, р, г, а
при е = 0 - функциями элементов а и р. Поэтому естественным способом
решения этих уравнений является следующий. Отбрасывая сначала малые члены
с е2, мы получим систему двух уравнений для аир, которая не содержит явно
времени, вследствие чего она легко сводится к одному уравнению первого
порядка. Его интегрирование даст нам зависимость а от р. После этого
находим связь р, а затем и а, с временем t. Подставляя найденные формулы
для а и р в слагаемые, пропорциональные е2, можно учесть и эти малые
члены.
Такой способ полностью оправдан, если мы хотим проследить изменение
элементов на большом промежутке времени, близком ко всему времени жизни
спутника. Этим способом мы воспользуемся в § 8.14. Однако, когда речь
идет о небольших временных интервалах, охватывающих несколько суток,
можно воспользоваться обычным методом последовательных приближений и в
случае не очень близких спутников ограничиться лишь первым приближением.
Если обозначить через А а, А р1 А г возмущения элементов а, р, i, то в
этом случае будем иметь
А а = [a]0(i-10), Ap=\p)0(t-t0), Ai=[i]0(t-t0), (8.6.15)
§ 8.7]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
255
где [а]0, [е]0 и [il0 даются формулами (8.6.11)-(8.6.13), в которых а, е,
i должны быть заменены их начальными значениями: а0, е0, г0.
§ 8.7. Асимптотические формулы для возмущений
элементов а, р, е, i, п
Полученные в предыдущем параграфе формулы дают точность до 1%, если е <;
0,2. В случае больших эксцентриситетов в этих формулах необходимо
сохранить члены высших степеней е, а при очень больших эксцентриситетах
необходимо, по-видимому, использовать другой метод. С другой стороны, при
е < 0,2 формулы § 8.6 можно существенно упростить, если воспользоваться
асимптотическими разложениями для функций Бесселя. Для этого, однако,
необходимо наложить ограничения на величину ?, а именно при сохранении
точности в 1% нужно, чтобы ? > 3. Но тогда из формулы (8.6.4) будет
следовать, что е > 0,02. Случай
представляет наибольший интерес для практики и мы его рассмотрим
подробнее.
Подставляя (8.4.1) и (8.4.2) в формулы (8.6.11) - (8.6.13), мы легко
находим следующие выражения для коэффициентов вековых возмущений
элементов а, р, г:
0,02 < е < 0,2
11 + 2е0 + -j- е1 + е1 +
f^L(16-25So2)}, (8.7.1)
Г_1 Правок ( ,_3 2 I 1 / А I 5 "2 \ I 9 I
[р]° УЩ~Р I 2 е"+8?о \ + 2 ") + 128?02 +
+W+4<12-154(1+15t)-
_^|1(8-5^)}, (8.7.2)
256 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ ГЛ. VII!
. ща0 р0х , f, е% е% ,
1 lo ~ ~~гуЩ ' i + т^
+1ЕГ (1 - Зе" - т';) +ТЩ(3- 5'">+Т(r)3} • <8'7'3)
где
Г. -
?о=^- (8.7.4)
Зная изменения элементов аир, можно найти формулу для изменения элемента
е. Действительно, так как
е2 = 1 --, а '
то
2е de _ 1-е2 da 1
<ii a dt a dt
Следовательно, если положить
Ае = [е]0 (t - ?"), (8.7.5)
то для [е]0 будем иметь
. , _ _ п0а0рок Г , ео __ е$ __
1 10 1/2^ I + 0 2 2
105
VZnto
~ 8^" (3 + 7е°б") _128?|~ (5 - 19е°) Ю24^ 1
+ji (12-15So2) (1 -^-) + 2е0Ч (1 - 4 *.*) } • (8-7-6)
Аналогичным образом можно найти формулу, дающую изменение элемента п.
Пусть
A n = k(t - to). (8.7.7)
Тогда
?___ ЗяЦаоРоХ / л I о I 3 2 , з . 2 12е0 21е;> .
2УЩ-0 {i + 2e°+Te2o + el+- Щ0
I 3(3 10gp) I 75 I ёд ,п___л ,| 2\ (л I 1 \ I
' 128?§ "Т" 1024^ т 2 11V \ 1 -г 8?о ) -г
Фо
(12 - 21^)} . (8.7.8)
Напомним, что в приведенных формулах р0 означает плотность на поверхности
внутреннего ограничивающего эллипсоида, а я определяется равенством
(8.6.4).
§ 8.8] ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 257
§ 8.8. Вывод уравнений
для возмущений угловых элементов
Возьмем теперь уравнения (4.10.17) для элементов М, со и Q. Как уже
