Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
Мы будем исходить из уравнений для элементов а, р, s, полученных в §
4.10. Эти уравнения позволят нам найти возмущения, обусловленные не
только сопротивлением атмосферы, но и совместным, комбинированным
влиянием сопротивления и сжатия Земли.
§ 8.5] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ
249
Предположим сначала, что атмосфера не вращается относительно инерциальной
системы координат. Тогда направление силы сопротивления будет
противоположным направлению вектора орбитальной скорости V. Разложим эту
силу по двум направлениям: по радиусу-вектору г и по нормали к нему.
Обозначая в соответствии с §4.10 компоненты возмущающего ускорения через
S и Т, мы будем иметь
T=-F ^-r2 , (8.5.1)
где F - величина возмущающего ускорения.
Так как вектор В перпендикулярен к вектору орбитальной
скорости, то третья компонента В будет равна
нулю.
Подставим формулы (8.5.1) в уравнения (4.10.15) для элементов а, р, s.
Тогда
А= -^LvF
dt fm '
1П- = (-2Р + 1%г)т' (8.5.2)
ds _ 1-s2 Q F dt ~ 2p fm V '
где / - постоянная притяжения, тп - масса Земли.
Орбитальная скорость V и величина Q определяются формулами
F2= -ig-+ , (8.5.3)
а ?2 + с2 Т)2 ' v >
/¦) _ т] (c2T] + c0g) g ^
v g2+c2n2
Входящие в уравнения (8.5.2)-(8.5.4) величины t| даются формулами
промежуточного движения:
? = а(1 - есоъЕ), (8.5.5)
ssin04-v /о с
т]= . , . -д , (8.5.6)
1 1 -f- d sin 0 ' 4 '
250 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕГЫ [гл. VIII
где 0 и определяются из равенств
0 = ijj-f- со - sin 2г|)+ sin 2 (яр -f- со),
tg
М--
Е - е* sin Е Хг sin 2 (if + (c)), М = п (t - to) -f- Mo,
(8.5.7)
(8.5.8)
(8.5.9)
причем
y=-e(t(1 - 2s2); d = eas, e - e [1 + e\(l -e2) (1 -2s2)], e* = e [1 -
e2(l - e2) (1 - s2)], k\ = s2s2 (1 - e2), /c2 = e2s2e2,
Xo =
v 3/2
(8.5.10)
-?-e2s2(l - e2) приведем также выражения для re, v и ц:
и = I1 -f-^C1 - 0(1 - s(r))},
-^(12 -15s2), [i --e2a.
(8.5.11)
Здесь мы отбросили члены порядка е4.
Поскольку в формулы промежуточного движения входят вместо элементов a, р,
s элементы а, е, i, связанные с ними равенствами (3.18.13)-(3.18.15), то
три уравнения (8.5.2) следует заменить уравнениями для элементов а, р, г.
Дифференцируя (3.18.13)-(3.18.15) и используя (8.5.2), находим
= - 2a2 [1 + 2e2a2 (1 - е2)] -^ - 2s2a2//^-
4г= -2 [p-^+2^!p(3+"s)]f+
-f- 4е2р2а2 4--,
1 1 fm '
| (8.5.12)
§ 8.6]
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
251
где
а = cos г, s = sin i, р = а (1 - е2).
В дальнейшем нам потребуются формулы для V2 и производной Е по t. Эти
формулы легко получаются из
(8.5.3)-(8.5.9), и мы имеем
т/2 _ 1UL 1 + е cos Д г .__________Q________,
а 1 - ecosE (. fma( 1-e2cos2 Е) I-
I e2(l -e2)a2(l-ecos Е) )
' 1 + еcosЕ / '
_^-=]/"-^-(l-ecos Е)~* { 1 _2МЛ-е2соз29----------------
dt У а3 4 'I (1 - ecos Я)2
в2(1 - е2)а2(3 - ecosff) ) /а к. л Л\
2(1 - е cos Е) /'
где Q определяется из равенства (8.5.4).
§ 8.6. Уравнения для вековых возмущений элементов а, р, г
Будем считать, что возмущающее ускорение, сообщаемое спутнику
сопротивлением атмосферы, дается формулой (см. § 8.3)
<8-вл>
в которой А и т0 - площадь миделева сечения и масса спутника, С v-
коэффициент сопротивления, р - плотность воздуха.
Как отмечалось в § 8.2, в первом приближении мы можем принять, что
плотность р зависит от геоцентрического расстояния г по экспоненциальному
закону. Мы не внесем в этот закон существенных изменений, если заменим
радиус-вектор г координатой ?, поскольку при % = = const мы получаем
сжатый эллипсоид, мало отличающийся от сферы радиуса г. Очевидно, в
результате такой замены мы будем частично учитывать сплюснутость
атмосферы у полюсов.
Итак, пусть
р = р0ехр-^Д,
(8.6.2)
252
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
где ?0 = а0 (1 - е0) соответствует внутреннему ограничивающему
эллипсоиду, р0 - значение плотности на этом эллипсоиде, а Н - шкала
высот.
Заменяя | его значением из (8.5.5) и полагая
aQ - а - а0е0
к-.
ехр
(;
Я
)•
(8.6.3)
мы можем представить формулу (8.6.2) в виде р = р0к exp ^ cos Е j.
Если далее ввести обозначения
? =
н
ACp
т0
то для ускорения F найдем
F - ~2 к*9<У2 ехР (? cos Е) •
(8.6.4)
(8.6.5)
Подставим теперь равенства (8.6.5) и (8.5.13) в уравнения (8.5.12), а
затем разделим правые части полученных
уравнений на (8.5.14) и умножим их на Е. Тогда, если отбросить члены,
заведомо приводящие к периодическим неравенствам, будем иметь
- - <(;+; ф ехр (? cos g) .
dp - - арщ>,к V + '1 Ф ехр (I cos Е) ¦№
da
dt
dt
dt
dl -~ ахр0кг2 (1 - e2) sax
dt
X
/ 1 + e cos E \ 1/2 dE
( 1 -'Гсоз Ё ) exp (?cos E) -^r
(8.6.6)
где с точностью до е е включительно
ф=1 + х (I2 ~15s2)_ -г- (8 _ 5s2)cos Е- (8-6-7)
Поскольку нас интересуют только вековые возмущения, мы проделаем с
уравнениями (8.6.6) следующие преобразования. Мы осредним правые части
этих уравнений по t на промежутке времени, равном одному аномалисти-
§ 8.6]
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
253
ческому периоду обращения спутника Т. Обозначая через [а], [р], W1
осредненные значения правых частей, мы
