Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аксенов Е.П. -> "Теория движения искусственных спутников земли" -> 6

Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.

Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников земли — М.: Наука, 1977. — 360 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyadvijeniyaiskustvennihsputnikovzemli1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 93 >> Следующая

3) для любого z из промежутка (-1, +1)
I Рп (z) I < 1 (п>0). (1.2.7)
4) при больших п имеется следующая оценка:
5) полином Лежандра можно представить формулой
П
pn{z) = -^ j (z + Vz2- lcoscp)ndcp, (1.2.9)
0
носящей имя Лапласа,
6) производящей функцией для Рп (z) является функция (1 - 2аz +
а2)"1/2, так что
ОО
1 = 2 "npn (z)> (1-2.10)
У 1 -2az + a2 v 1 п=0
7) полином Лежандра удовлетворяет следующему линейному
дифференциальному уравнению второго порядка:
(1 - *2) ф- - 2z (г, + 1) Рп = 0, (1.2.11)
которое называется уравнением Лежандра.
§ 1.3. Присоединенные функции Лежандра.
Общее выражение для сферической функции
Присоединенную функцию Лежандра Р<м (z) порядка п и индекса к можно
определить формулой
jft/2 dhPn (z) где Рп (z) - полином Лежандра.
pW(z) = (l_22f2i^(!Lj (1.3.1)
16
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
[ГЛ. I
При помощи равенств (1.2.2) из формулы (1.3.1) легко находим явные
выражения для нескольких первых PW (z):
7J22> = 3 (1 - z2),
Piv
f(-l + 5z2)(l-z2) P(32> - 15z (1 - z2),
Pf = 15(l-z2)3/2,
2x1/2
D( 1) r 4 '
2
15
-3z + 7z3)(l-z2)1/2, z2),
(1.3.2)
Pf
Pi 4) r 4
2 (-1 + 7z2) (1 105z(l-z2)3/2, 105 (1-z2)2.
Для вычисления PW> (z) высших порядков можно воспользоваться следующими
рекуррентными соотношениями:
(п 2 - к) Рп+2 (z) -
- (2га-f- 3) zPn+i (z) (ii к-\-1) Р(п ^ (z) = 0,
А*"> "-^±&п*+,)й+
+ ("-*) (n + t+l)PSf>(2)-0.
При этом достаточно пользоваться только первой формулой, принимая за
исходные данные
0, = 1-3-5 ... (2/с -¦ 1) (1 - z2)ft/2. (1.3.3)
Полиномы Лежандра и присоединенные функции Лежандра являются составными
элементами сферических функций. Функции двух аргументов 0 и о}э
Рп^ (cos 0) cos к\|) и Р^ (cos 0) sin кур.
называются элементарными сферическими функциями, а сферическая функция Yn
(0, ij)) порядка п определяется формулой
(6, 1Р) = где Anh и Bnh
¦¦ 2 Рп) (cos 0) [Anh cos /hj) 4- Bnh sin An|;], ft= о
- произвольные постоянные.
§ 1.4] НОРМИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
17
Функция Yn удовлетворяет следующему уравнению в частных производных:
1 д / . " dYn \ . 1 d2Yn , , . *. -V7- "
sin 0 50 (S1110 ад ) + sin2 0 (^ + *) ^" = °>
а присоединенная функция Лежандра Р(z) является одним из решений
уравнения
-¦*2) S "¦2z'f-+["("'+ 1) - Т^г] = °'
которое при & = 0 переходит в уравнение Лежандра.
Приведем теперь формулу, которая играет важную роль в теории сферических
функций и их приложениях. Она имеет вид
Рп (cos 0 cos 0' + sin 0 sin 0' cos со) = Pn (cos 0) Pn (cos 0') +
П
+ 2 2 fc|)f 1 (cos 9)P*'* (cos 9')cos fa>. (1.3.4)
ft=i
и носит название теоремы сложения для полиномов Лежандра.
Отметим еще одно свойство, которое нам потребуется в дальнейшем. Оно
заключается в том, что интеграл по поверхности сферы единичного радиуса
от произведения элементарных сферических функций различных порядков и
индексов равен нулю, в то время как
Я 2л
4 \ • <°-5>
о о
Другие свойства сферических функций можно найти в уже упомянутой
монографии Е. Гобсона.
§ 1.4. Нормированные и полностью нормированные присоединенные функции
Лежандра
В различных приложениях теории потенциала наряду с присоединенными
функциями часто используются так называемые нормированные и полностью
нормированные присоединенные функции Лежандра. Они вводятся следующим
образом. Пусть (z) дается равенствами
2 Е. П. Аксенов
18
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ [ГЛ. I
(1.3.1) и (1.2.3). Тогда нормированная присоединенная функция Лежандра
p'W (z) определится формулой
а для полностью нормированной присоединенной функции Лежандра pW (z)
имеем
р") (z)=V2n + l уГ-1^ Pih) (z), (1.4.2)
или
pW (z) = 1/2n + 1 p'W (z). (1.4.3)
Таким образом,
P^)(z)=(l-z2)ft/2 dhPn(zl> (1.4.4)
dz^
"*'<•>-/<1A5>
С1-"')"2 "У1, ¦ (1-4-6>
где Pn (z) - полином Лежандра.
Используемое здесь нормирование имеет следующий смысл. Если для PW
согласно (1.3.5)
J (1.4.7)
S
то в случае рФ) и р^
J[p;'"(cose)"t4.]2dS = ^r, (1.4.8)
S
j [^)(cos0)(r)°ns/cil3]2d6, = 4n, (1.4.9)
s
где S - поверхность сферы единичного радиуса.
§ 1.5]
РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В РЯД
19
§ 1.5. Разложение потенциала в ряд по сферическим функциям
Как и раньше, будем предполагать, что притягивающее тело имеет
произвольную форму, а плотность х является кусочно-непрерывной функцией
координат. Тогда в системе координат 0|т]?, жестко связанной с телом,
потенциал притяжения U в точке Р согласно § 1.1 будет даваться формулой
и==/555^' (1-5Л)
г
где / - постоянная тяготения,
А = ]/лг2 + г'2 - 2rr' cos 7, cos у - ^ ,
причем г, г), ? - радиус-вектор и координаты точки Р, а г', г)', f
- радиус-вектор и координаты точки Р',
в которой находится элемент объема dr.
Предполагая, что точка Р лежит вне притягивающего тела, разложим А-1 в
ряд по степеням отношения г'/г. Прежде всего, мы имеем
|Л-2(^)с°зТ+(4-)2
а это дает нам возможность применить формулу (1.2.10). При помощи этой
формулы находим следующее разложение для 1/А:
ОО
-Т = Т 2 (-7-)"^". (cos-у), (1<5-2)
п-0
подставляя которое в (1.5.1), получаем
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 93 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed