Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
высоты. На рис. 28 приводятся
§ 8.2]
ПЛОТНОСТЬ АТМОСФЕРЫ
245
графики изменения Н с высотой для модели атмосферы CIRA, 1965 *). При
изменении высоты от 200 до 800 км шкала высот Н возрастает примерно от 20
до 200 км. Таким образом, формула (8.2.1) тем лучше описывает
распределение плотности, чем более тонкий слой рассматривается.
h,m
Рис. 28. Зависимость шкалы высот Н от h.
Взяв за основу формулу (8.2.1), мы можем найти главнейшие возмущения в
движении спутника, вызываемые сопротивлением атмосферы. Изучив их, можно
перейти к исследованию более тонких эффектов. Так, полагая в (8.2.1)
Н = #0 + \i'h, (8.2.2)
где Н0 и ц.' - постоянные, можно найти неравенства,
обусловленные изменением шкалы высот.
Далее, можно учесть суточный эффект, если воспользоваться формулой [5]
P = Po(l + e'cos"'-i-) ехр( -А.) , (8.2.3)
в которой а' и п! - постоянные, а г|/ - угол между радиу-
сом-вектором спутника и осью атмосферного горба.
*) См. также Приложение (табл. 37).
246
ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
Так, шаг за шагом усложняя аналитическую модель атмосферы, мы можем
добиться вполне удовлетворительного согласия теории с наблюдениями.
§ 8.3. Сила сопротивления атмосферы
При изучении поступательного движения спутника принимают во внимание лишь
ту компоненту F аэродинамических сил, направление которой противоположно
вектору относительной скорости спутника. Выражение для F записывают в
виде
F = ±pV'*ACD, (8.3.1)
где р - плотность воздуха, У' - скорость спутника относительно атмосферы,
А - площадь миделева сечения, а С D - аэродинамический коэффициент
лобового сопротивления (безразмерный).
Если средняя длина свободного пробега молекул воздуха значительно
превосходит геометрические размеры спутника, то коэффициент С D близок к
2. В противоположном случае он мало отличается от единицы. Средняя длина
свободного пробега молекул на высотах свыше 160 км составляет около 50 м.
Поэтому для большинства спутников СD л: 2.
Для сферических спутников, движущихся по орбитам с высотой перигея от 180
до 500 км, значение С D оказывается равным 2,1-2,2. Для цилиндрических
спутников, движущихся по тем же орбитам, С D может принимать значения
между 2,10 и 2,25. Поэтому с ошибкой, не превосходящей 5%, можно принять,
что среднее значение СD равно 2,2.
Площадь поперечного сечения А для несферических спутников является
величиной переменной. Поэтому, строго говоря, для изучения
поступательного движения спутника необходимо знать его вращательное
движение. Однако, если предположить, что при вращении спутника вокруг
центра масс различные его положения равновероятны, то для 4 можно взять
среднее значение, равное 0,25 площади внешней поверхности спутника.
Из предыдущего следует, что мы не можем с высокой степенью точности знать
величины А и С в. Но нужно иметь
§ 8.4]
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ МНИМОГО АРГУМЕНТА
247
в виду, что произведение А-СD может определяться непосредственно из
наблюдений. Что касается теории, то для нее важно то, чтобы это
произведение было постоянным. Это. требование имеет особое значение при
определении короткопериодических возмущений и едва ли сколько-нибудь
существенно при изучении долгопериодических и вековых неравенств.
§ 8.4. Функции Бесселя мнимого аргумента
Важным математическим аппаратом в теории возмущений от сопротивления
атмосферы оказались функции Бесселя мнимого аргумента, основные свойства
которых мы кратко изложим в этом параграфе.
Функция Бесселя порядка п от чисто мнимого аргумента, обозначаемая через
/" (?), может быть определена следующим образом. Пусть Jn (?) - обычная
функция Бесселя первого рода порядка п. Тогда
Поэтому все свойства функции 1п (?) могут быть легко выведены из
соответствующих свойств обычных функций Бесселя [6].
Функция /" (?) удовлетворяет уравнению
При больших ? для вычисления 1п (?) можно воспользо' ваться следующим
асимптотическим разложением:
d4n(Q , 1 din (О
dl? с dC
(l+-jS-)/n(E) = 0
и разлагается в следующий ряд:
оо
X (4я2 -З2) ... [4я2- (2k- I)2]} .
248 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ [ГЛ. VIII
В частности, для 10 (?) и (?) имеем
т ^ ехр (?)/", 1 1 ,
/о(?) 17^Г11+Т-Т+
V 2л? ' 8 S
1 , 75
128 I Ю24 ?3
Л(?)~
' ' 1/2л.Г V 8
|/ 2л? ^ 8 5
15 1 105
(8.4.1)
128 ф 1024 • ?3
3
Заметим, что при ? > у выписанные члены в разложениях (8.4.1)
обеспечивают точность в определении /0 (?) и 1Л (t) до 1%.
Для функций Бесселя мнимого аргумента справедливы следующие рекуррентные
соотношения:
WO-/"+!(?)=-у-/"(?), (8.4.2)
In-dl) + WS) = 2/; (С), (8.4.3)
где штрих означает производную по ?.
Весьма важным для приложений является интегральное представление /" (?):
2я
7"(^)=-^-j exp (? cos ?¦) cos и/? dE. (8.4.4)
о
Из этой формулы имеем следующее разложение в ряд Фурье функции exp (? cos
Е):
ОО
ехр (? cos Е) = /" (?) + 2 2 (?) cos (8.4.5)
П-1
Другие свойства этих функций можно найти в уже упомянутой монографии [6].
§ 8.5. Уравнения для возмущении элементов а, р, г
