Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
а плотность распределения масс внутри него является кусочно-непрерывной
функцией координат.
Возьмем прямоугольную, жестко связанную с телом систему координат Ot,r\Z,
с началом в центре масс тела (рис. 1). Тогда потенциал притяжения или
силовая функция тела М в точке Р с координатами г), ? будет даваться
формулой
Т
где / - постоянная притяжения,
а=vа - и+in - л')2+а - о*
есть расстояние точки Р от текущей точки Р' с координатами |', Рис. 1.
Система коорди-тГ, S', в которой находится эле- нат-
мент объема dr, а интеграл берется по всему объему Т, занятому
притягивающим телом.
Если через гиг' обозначить радиусы-векторы точек Р и Р', а через у - угол
между ними, то для А и у будем иметь
А = угга+ г'2 - 2rr' cosy, (1.1.2)
.. ЕЕ'-Нп'-КГ
гг'
(1.1.3)
12
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОПЕ ЗЕМЛИ
[ГЛ. I
Потенциал U обладает следующими свойствами *):
1) потенциал U есть функция, непрерывная во всем пространстве,
обращающаяся в нуль в бесконечности, причем
lim (rU) - fm, (1.1.4)
г-*-оо
где т - масса тела,
2) частные производные первого порядка потенциала U по координатам
являются непрерывными функциями во всем пространстве, обращающимися в
нуль в бесконечности,
3) если через X, Y, Z обозначить проекции силы притяжения точки Р
телом М на координатные оси 0\, Ох\, O'Q, то во всем пространстве
у - ди у - 7_ ЛН- 1 5\
4) во внешнем относительно тела М пространстве потенциал U
удовлетворяет уравнению Лапласа'.
ею , , W=0j (1<L6)
5) внутри тела М потенциал U удовлетворяет уравнению Пуассона:
дЮ , д*и . frU . ,
д& "Ь Л]2 "Ь ~
Первые четыре свойства легко доказываются, когда плотность х - кусочно-
непрерывная функция. Для доказательства же свойства 5 требуется наложить
на плотность более жесткое условие. Наиболее общим таким условием
является условие Гольдера. Плотность х удовлетворяет условию Гольдера,
если точку Р, лежащую внутри тела, можно заключить в такой объем, что для
любых двух точек (h, т)х, ?j) и (|2, т)3, ?а) этого объема имеет место
следующее неравенство:
I и (?п Ли ?i) ^ (?2i Лг" ?з) I <-~ -^Ра>
*) Подробнее о теории потенциала см. книги Г. Н. Дубошина [1], [2], М. Ф.
Субботина [3], Л. Н. Сретенского [4].
§ 1.2] ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОЛИНОМАХ ЛЕЖАНДРА 13
где
Р = V (Si - У2 + (4i - %)2 + (Ci -
а Л и а - постоянные, причем 0 < а < 1.
Очевидно, это условие будет выполнено, если плотность имеет непрерывные
частные производные первого порядка.
Перечисленные свойства называются характеристическими.| ибо согласно
теореме Дирихле они вполне определяют потенциал притяжения тела, а
поэтому могут быть использованы для его практического определения.
Второй способ нахождения потенциала заключается в непосредственном
вычислении интеграла (1.1.1). Однако в конечном виде этот интеграл
берется только в некоторых частных случаях, таких, например, как случай
однородного шара или шара с концентрическим распределением плотности и
случай однородного двухосного или трехосного эллипсоида. Так, для
концентрического шара потенциал дается формулой
где т - масса шара.
Если же на форму тела и распределение масс внутри него не накладывается
никаких ограничений, кроме тех, которые были сделаны в начале этого
параграфа, интеграл ,(1.1.1) можно вычислить только при помощи ряда.
Наиболее распространенным в настоящее время разложением для потенциала
является разложение по сферическим функциям. Применение сферических
функций, как мы увидим в § 1.5, позволяет получить довольно простую и
удобную для практических приложений аналитическую формулу для потенциала.
§ 1.2. Основные сведения о полиномах Лежандра
Полином Лежандра Рп (z) порядка п можно определить формулой
(1.1.7)
Г
(1.2.1)
носящей название формулы Родрига.
14
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
[ГЛ. I
(1.2.2)
Для первых Рп (z) имеем i>o(z)=l,
Pi(z) =2,
^(Z)=4(~1+3Z2)'
ps (Z) =4'(~3z + 5z3),
P4 (z) = -g- (3 - 30z2 + 35z4), P5 (z)=i-(15z-70z3 + 63z5), P6(Z) =JL (_5
+ 105z2-315z4 + 231z6).
Из формулы (1.2.1) легко получается следующее общее выражение для Рп (z):
f-W-S ( -1)Г 2'MtF-Г)|2(п-2тОГгЛ~2Г| ('-2-3)
г=0
где /i = - или Л =
смотря по тому, которое из
этих чисел целое.
Полиномы Лежандра высших порядков могут быть вычислены при помощи
рекуррентного соотношения
("+ 1) Рп+1 (z) - (2п + 1) zPn (z) + пРп^ (z) = 0. (1.2.4)
В дальнейшем нам потребуются также следующие фор-
мулы:
(1 - z2) ^ = пРп^ (Z) - nzi>n (Z), (1.2.5)
(z) _ dpn-i (?). _ (2га + 1) pn (z). (1.2.6)
dz
Отметим некоторые свойства полиномов Лежандра *):
1) полином Лежандра является четной или нечетной функцией в
зависимости от того, четна или нечетна его
*) Подробное изложение теории полиномов Лежандра можно найти в монографии
Е. Гобсона [5], в книге Э. Т. Уиттекера и Дж. Н. Ватсона [6] и в книге А.
Ф. Никифорова и В. Б. Уварова [34].
? 1.3] ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
15
степень, так что
Pn (-Z) = (-1 )ПРп (z),
2) на границах интервала [-1, +1] полином Лежандра принимает следующие
значения:
Рп (1) = 1, Рп (-1) = (-1Г,
