Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
чисел целое.
Дифференцируя (6.5.2), получаем
ft-q
<РРп(х) __ 1 S.'- / 4\Г (2и 2г)! ГТ "п-q-zr to. к /л
-Щд-------2"ге! 2л ' ' 7Г-=Т-2Т)Г °пХ .(0-0.4)
г=0
где
пг 71(71-1) . . . (71 - Г+1)
г!
Для случая q = n из (6.5.4) легко находим
dnPn (х) _ (2д)1 dxn 2пп\ •
§ 6.5]
ФУНКЦИИ НАКЛОНА Л^ (f)
201
Поэтому, если в формуле (6.5.3) положить х = sincp и q = п, получим
/>Г(зшф) = -|^рСой"ф. (6.5.5)
Далее имеем
exp (У - 1 qw) = (cos w-\- Y- lsinwg). Подставляя сюда формулы (6.4.5),
найдем cos9 ф exp {Y - 1 qw) = (cos u -f- - 1 a sin u)q =
= -^- [(i + aJexpC/ - i u)+ (1 - a) exp ( - Y^i u)]q. Следовательно,
соэ9ф exp {Y - 1 qw) -
= 4r 2 (1 + (1 - a)9_m exp [ -]/"" l" (Q - 2m) и].
m-0
(6.5.6)
Рассмотрим сначала случай q = п. При этом формулы (6.5.5), (6.5.6) и
(6.5.1) дают
П
= 2 С(1+аГ(1-а)"-"7^,
771=0
где
2л
Inm = j exp [ - Y - i (п - 2т-\- к) и] du.
о
Но
k Г п~ 2т + кф0, nm"l 2л, гс-2т + А = 0.
Следовательно,
n+ft n+fe n-fc
"пп = -|^гС"2 (l+a)~(l_a)~
и
n+h n+h n-h
4n(0 = -i^rC"2 (j+a) 2 (!-") 2 • (6-5-7)
где a = cos i.
202 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ГАРМОНИК ГЛ. VI
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть х - sin ф = sin i sin и = s sin и.
Тогда
х = -^У - 1 texp(- V - 1ы) - ехр(|/г - 1м).] Поэтому
хг^г = {_1У(у-l)^irgLx
n~q-2r
X 2 (~ 1)г^_<г-2гехр[- V-1(" - q- 2г- 21) и]. г=о
(6.5.8)
Подставим равенства (6.5.8), (6.5.4), (6.5.3) и (6.5.6) в формулу
(6.5.1). Тогда
q h-qn-q-2r
k
т=0 r=0 I-О
X Yn-7-^)! (1 + сО" (1 - а)*-'" X
2л
--j exp [У - \ (2т-\-2r-\-2l-п - k)u]du. (6.5.9)
2it
1
X
2я
о
Поскольку интеграл в (6.5.9) равен нулю, если т-\-4.г + IФ , и 2л, если
гга4~^+ I - , то из
(6.5.9) и (6.4.13) находим
A,V) = 2 *2" |]2г^(1 + "Г(1-аГт5п-9-2Г,
?п=0 г-0 /=0
(6.5.10)
где
К% - (-1)1(;lr)gL2r), creel-,(6.5.11)
Рассмотрим теперь случай q = 0, т. е. функции наклона для зональных
гармоник. Тогда /га = 0 и I = -г-
§ 6.5]
ФУНКЦИИ НАКЛОНА А*д (г)
203
Поэтому формулы (6.5.10) и (6.5.11) дадут
h
4о(0-2 Kknsn-*r,
(6.5.12)
(2га- 2г)! С1п_2г
(6.5.13)
, смотря по тому,
четно или нечетно п.
Нетрудно показать, что рассмотренные в § 5.4 функции L<?\i) связаны с А^а
(i) зависимостью *)
Полученные в этом параграфе формулы позволяют вычислять функции наклона
для любых индексов п, к и q. Важно также иметь рекуррентные формулы,
связывающие функции наклона различных индексов. Такие формулы были
выведены в работе А. Шаля и И. Лаклавери [2]. Они имеют вид
Соотношения (6.5.16)-(6.5.18) вместе с формулой
(6.5.7) позволяют довольно быстро вычислять любое число функций (?)•
*) Функции Ln(i) были введены как коэффициенты тригонометрического
полинома для Pn(s cos и), а функции A%0(i) являются соответствующими
коэффициентами для -Pn(ssinu). Отсюда и получается зависимость (6.5.14.).
n+k
Ahn0(i) = (-1) 2 Lf(i). (6.5.14)
Поэтому
h
n+k
n + k ¦ 1 - a Ann '
¦n-2, n-2j
(6.5.16)
(6.5.17)
(6.5.18)
204 ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ТЕССЕРАЛЬНЫХ ГАРМОНИК [1'Л. VI
Для вычисления производной по i в работе [2] предлагается следующая
формула:
dAk+ ' . <24* +1 "
(6.5.19)
Исходные данные, требуемые для вычисления по формулам (6.5.16)-(6.5.19),
нужно определять из равенств
(6.5.7) и (6.5.10).
§ 6.6. Функции эксцентриситета B*q(e)
Согласно § 6.4 функция 5* (е) определяется формулой
2я
ВЬ*(е) = ± J (f)nexp[/ITT(ko-qM)]dM, (6.6.1)
так что
(¦^j"exp(j/r - 1 kv)= 2 Bnq exp (У - 1 qM). (6.6.2)
q= - oo
Функции B^q довольно просто связаны с коэффициентами Ганзена, которые
обозначаются Х(tm)к и вводятся следующим равенством *):
ОО
( У ехр (У - 1&у) = 2 Хдйехр(уг - 1 qM). (6.6.3)
Q=- оо
Действительно, сравнивая (6.6.2) и (6.6.3), находим
Я^ = Х"п-\ (6.6.4)
Коэффициенты Ганзена были подробно изучены в трактате Тиссерана [3],
который дает для них такие формулы:
Хт> h ( l^-fe (1 -Р2)2т+3 aq-k ^
Ля (l + p2)m+l P X
X [-Pe-ft + Pq-k+lQlfi2 + Pq-Ti+iQt^1 + •• •]> (6.6.5)
*) Можно, конечно, н Bnq считать коэффициентами Ганзена, по здесь мы
придерживаемся стандартных обозначений,
§ 6.6]
ФУНКЦИИ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА в). (е)
205
если q > к, и
Ут. й__ /____\\к~1 (1 ft2)2m+3 ^
- V (1_^р2)ш+1 Р Л
X [Qk-q ~f Qk-q+lPffi' Н" Qh-q+lPffi 4" • • •]> (6.6.6)
если к> q.
В формулах (6.6.5) и (6.6.6) р=
1 + У1 -е2 '
коэффициенты Ph определяются равенствами
р т. + 2-q V
1 1 '
р (m + 2 - q) (т + 3 - q) т + 3 - q v ^ v2
2- Ь2 1 Г 1 Т2'
р _ (m + 2 -g)(m + 3 -g)(m + 4-g)
3 1-2-3
(m + 3- g)(m + 4 - g) v , m + 4- q v2 v3
Г2 T"1 1 T-1F 1-2-3 *
а коэффициенты ();, - равенствами
Л m + 2 + g , v
VI -----j-------rji
¦n _ (m + 2 + sr)(m + 3 + g) , m + 3+g v , v2
Г2 I j T+Tl
л (m + 2 + g) (m + 3 + g) (m + 4+?) ,
1-2-3 "*
, (m + 3+g)(m + 4+g) v . m+4+jf v2
1-2 1 1 1 1-2 1 1-2-3 '
где ______
v = qY 1 -e2.
Поскольку приведенные здесь формулы для коэффициентов Ганзена X(tm)ift имеют
место как при положительных, так и при отрицательных т, то они вместе с
формулой (6.6.4) позволяют вычислять функции Bnq- Однако полезно иметь
также рекуррентные соотношения между В*}, соседних индексов. Эти
