Оптика фемтосекундных лазерных импульсов - Ахманов С.А.
ISBN 5-02-013838-Х
Скачать (прямая ссылка):
aU = К -"5(3>)/К- nD (З-4)
для E1Jnm-мод и
aUID = ("i/"2 (З))4 аУцП) (3.5) для Exnm-MOjX, ,причем an>ai, так как Я2>Яз,
^I(II) = Aft,(ll,(n2-n§y/2, (3.6)
где щ — показатель преломления планарного волновода в области I или II; h = dx для случая градиентного OB с профилем / (xjdx). Указанные параметры используются для определения нормированных эффективных показателей преломления (постоянных распространения) bi и Оц с помощью соответствующих дисперсионных уравнений (1.6) или (1.31). Величины bi и Ьп связаны с эффективными показателями преломления п*і и п*и исходного планарного OB соотношениями, аналогичными (1-8):
0IUO = K(2II)-"о2)/К-"о)- (3-7)
61 Для полосковых OB под п*і и п*ц понимаются эффективные показатели преломления исходного планарного волновода под диэлектрической полоской (И вне ее соответственно. В случае погруженных канальных OB1 как правило, Яз = і4 и задается п*ц = п3 и, следовательно, Ьифй либо пз = П4 = п0; тогда п*ц = п0, Ьц = 0 и V11 = O.
Трехмерный OB рассматривается1 как симметричный планар-ный волновод с толщиной, равной ширине трехмерного волновода W и показателями ,преломления п*\ и п*ц волноводного слоя и прилегающей среды соответственно (ем. рис. 3.2,б). Этот эквивалентный волновод имеет дискретное распределение показателя преломления по сечению и -может быть описан с помощью эквивалентных нормированных параметров V и Ь:
V = kW ( Л*» —/1*2)1/2 ; (3.8) Ь = (п*2-п\\)1(п\*-п\?) , (3.9)
где п* — эффективный показатель прелОхМления эквивалентного волновода, равный эффективному показателю преломления трехмерного OB. С помощью нормированных параметров Ьі и Ьц выражения для V и b можно переписать в более удобном виде:
V = Vi (Aby2Wlh; (3.10 b = (b0-bii)/Ab, (3.11)
где
A b = bi-bu; (3.12)
&о = ("*2-л2о)/К-<) •
Взаимосвязь b и V строится на основе дисперсионного уравнения для однородного планарного OB (1.6) при а = О в виде универсал: ных зависимостей для различных индексов т мод симметричного голновода. Поэтому, рассчитав bі, Ьц и Vi для заданной волноводной структуры с вполне определенными значениями ai и ац їй определив V из выражения (3.10), можно вычислить значение b для произвольного геометрического формата F=Wfh полос-кового OB. Тогда с помощью (3.9) легко найти эффективный показатель преломления эквивалентного волновода и, следовательно, эффективный показатель преломления моды трехмерного OB п*пт с соответствующими двумерными модовыми индексами:
nZ=«а + (К - nD (Km А ь + Ьп), (3.13)
для малых An = rii—ЯоСЯо
Krn^ п0 + Ап(ЬптАЬ + Ьи). (3.13а)
Это позволяет найти и соответствующие постоянные распространения волноводных МОД ?nm = kn*nm-62 На основе модели эквивалентного симметричного волновода условие существования заданного числа мод M в направлении оси у для трехмерного OB принимает вид
я (М- 1)<V<JXM. (3.14)
Его можно шереписать в виде
л (М- IXV1 (b1-bn)1'2W/h<nM (3.14а) или
(M-I) <2 ( n;2-n*n2y/2W/X<M. (3.146)
Аналогично можно определить эффективную ширину трехмерного OB:
W* = W + 2lyu, (3.15)
где
Yii = HftK2-Ij12)]1/2 (3.16)
— коэффициент затухания поля моды OB вне волновода в направлении оси у.
Расчет дисперсионных характеристик диффузионных канальных OB с двумерным градиентом показателя преломления tii (х, у) (см. рис. 3.1,(3), обусловленным двумерной диффузией (которая практически всегда имеет место при изготовлении OB такого типа, например с помощью диффузии Ti в ниобат лития), также может быть лроведен на основе метода эффективного показателя •преломления. В этом случае эквивалентный симметричный пла-нарный волновод имеет не ступенчатое, а градиентное распределение показателя преломления по сечению и его анализ проводится на основе разработанной теории градиентных планарных волноводов [116].
Для градиентного канального OB с профилем показателя преломления вида (3.1) нормированная толщина волновода зазисит от координаты у.
Vi (у) = V0 [g (уIdyW(3.17)
где Vo = kdx(n2i—п2о)1/2 соответствует случаю градиентного волновода с одномерной диффузией. Соответствующие эффективные показатели преломления для всех значений у, при которых существует одномодовый OB,
ь (У) = {[л* (у)]2 - / [( П\ - п2) g (уIdy)] ; (3.18)
П* (*/) = К + ( л? -n\)h (y/dy)\' /2 , (3.18а)
где п*і — эффективный показатель одномерного OB; h(y/dv) = =g(y*/dy)b (у)/bо — профиль показателя преломления эквивалентного симметричного волновода; параметр Ь0 определен выше.
Для такого эквивалентного OB нормированные параметры V и Ь определяются из выражений (3.8) и (3.9), где я*и = яо. Диспер-
63 сионное уравнение (1.31) для эквивалентного градиентного OB может быть представлено в виде
V f' [h (и) - ij!<'2 du = я (т - 1/2), (3.19)
о
где u = y/dy-, /n= 1, 2, 3, ... — индекс моды; ut = yt/dv; yt — координаты точки поворота моды. Соответствующие дисперсионные кривые для канального OB с двумерной диффузией можно найти, например, в [116].
Метод эффективного показателя ,преломления не дает прямой информации о распределении полей волноводных мод трехмерных OB. Однако путем приведения реальной трехмерной волноводной структуры к эквивалентному однородному волноводу прямоугольного сечения (см. рис. 3.2,а) поля мод OB можно определить в приближении Маркатили или метода эффективного показателя преломления. В общем случае трехмерного OB с двумерным градиентом показателя преломления П\(х, у) для нахождения распределения полей мод такого волновода используются численные методы решения волнового уравнения
