Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
+ _I__L_!_ . _1_1
1 V — г (їв 4-wbl) 1 V — /(и — fflbl) 1 V — /(ffl — ffl-i,i)J'
+_I___1___!_1
1 V — г (ffl — b_u) V — / (to-I-Mli ,) V — '(® + ®-i,i)J
(3.14)
В пределе v^J>co и соm>n уравнение (3.13) представляет собой уравнение диффузии намагничения, кладущееся в основу теории парамагнитного резонанса электронов проводимости [11, 10]. Формулы (3.14) описывают частотную дисперсию анизотропного коэффициента диффузии намагничения, которая становится особенно важной в условиях, когда v<co~com, „. Последнее неравенство выполняется при достаточно низких температурах и для чистых образцов металла .
С помощью уравнения (3.13) нетрудно записать выражение для компонент высокочастотной магнитной восприимчивости х±. учитывающей частотную и пространственную дисперсию (m — e-mt + ikr^*y_
та* = . = % + (со, й)/г±, (3.15)
*) Внимательный читатель может заметить, что определение (3.15) отличается от использованного ранее (2.13). Это обусловлено тем, что, в отличие от статической восприимчивости X. малой по сравнению с единицей, высокочастотная восприимчивость в окрестности резонанса может быть отнюдь не малой.
-354 где Ai = hxiihy и h—переменное магнитное поле внутри металла. При этом
Х±(о, *)=-!=-y+?---. (3-16)
— / (м±(йд)-|- "у ^0 +fe2 D± (k, а) — С
С-л^ Г ^
Co5 ==2[IoHJfi — частота спинового резонанса электрона проводимости, fr* — угол между векторами ft и и, а
D±(ft, to) = /-^(1 +?0)(l +?i)(co±co0, i + iv) X
vf +__]. (317)
1 (ffl + CO0, 1 4- /v)2 (ffl ± CO1, ! -f-i'v) (ffl + CO^1, 1 4-/v) J
Последнее выражение для D± (ft, со) было получено Платц-маном и Волфом [2].
Комплексная магнитная восприимчивость (3.16) может быть использована для определения спектра тех спиновых волн, которые могут возбуждаться магнитным полем. Ограничимся случаем не слишком высоких частот, когда со С с/г. Тогда для интересующего нас случая уравнения поля сводятся к
rot (b -— 4л/и) = 0, div b = 0. (3.18)
Имея в виду соотношение (3.15), получаем следующее уравнение, определяющее спектр спиновых волн:
1 +4ях±(со, *) = 0. (3.19)
Подставив сюда выражение (3.16), получим дисперсионное уравнение длинноволновых колебаний (kv <5^ со) в окрестности I со I = COt
(.J_+J^o--ik2 D±(k, со). (3.20)
s'
СО :
В условиях, когда со v, можно пренебречь зависимостью D± от частоты. При этом D± оказывается величиной действительной, а поэтому согласно формуле (3.20) групповая скорость волн будет мнимой. Это означает, что в таких условиях спиновые волны не существуют и возмущения намагничения расплываются по законам диффузии. Напротив, в пределе v<5^co коэффициент диффузии D± становится мнимым, а групповая скорость волн — действительной. Это означает, что вместо диффузного расплывания возмущений ста-
23* 355 новится возможным распространение волн намагничения — спиновых волн.
Обнаруженные на опыте [1, 2] спиновые волны соответствуют частотам, близким частоте спинового резонанса электронов проводимости. При этом, в соответствии с только что сказанным, спиновые волны проявляются лишь в условиях, когда (o^>v. В этом случае из формулы (3.20) имеем:
(u = cua[l — k2a{k)]> (3.21)
где
f2 (l+?o)(l+?i) 1 — л COS2 ft.
a (ft) = -І-, (3.22)
За2 P0-P1 А-1
и _ (l+Po)2(l+?i)2 ^2
-ir--'tt' {.o.zo)
(?o — PiJ as
Как мы увидим ниже, зависимость а от угла iOifc между векторами k и M0 позволяет экспериментально определить величину А. Однако, прежде чем переходить к изложению экспериментальных результатов, рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из теории для коротких спиновых волн.
4. Для произвольных длин волн колебаний теория существенно усложняется, в особенности благодаря сложному виду функции ф(р, р') (см. формулу (2.8)). Ставя перед собой задачу продемонстрировать те возможности, которые открывает теория вырожденной электронной жидкости для изучения коротковолновых спиновых волн, для простоты примем, что функция ф не зависит от угла между р и р', т. е. примем
ji^h^v
ф = —^r- Po = const. (4.1)
Представим неравновесную спиновую плотность в фазовом пространстве в виде
Ьа = ge-^t+ikr (4.2)
и будем считать, что неравновесное магнитное поле таким же образом зависит от времени и координат. Тогда можно записать кинетическое уравнение (3.2) следующим образом:
1+?o
H»g J
¦ {g±) -j~ cos 0 + IkJ_V sin 0 COS ф +
[knv cos 0 + Iksin 6 cos<p-|—— /Q0) P0^rt. (4.3) \ T2 J
-356 2л л
Здесь b± = bx±tby, g±=gx±lgr (g±) = -L- Jd9J X
о о
Xsin QdQg±, полярная ось для сферических координат в пространстве импульса ориентирована вдоль H0. Имея в виду естественное условие периодичности по ф, получаем из кинетического уравнения (4.3):
g± + + Mo** = - ~ [(- ico?o + Ii^) (S±) -
ф
— (ico — y) Mo^*] J ^ф' ехр cp^cp \k\\v cos 9 —
со
k ,V "I
—і ——sinB [sinф — sinф/]|. (4.4)
Поскольку согласно (4.2) и (2.15) неравновесная плотность намагничения связана с g соотношением т = — (%ly){g), то с помощью (4.4) получаем для высокочастотной магнитной восприимчивости, определенной соотношением (3.15), следующее выражение:
