Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
4ij(P) = ybU, (2.9)
где [4]
„__Ио
1+Ро '
(2.10)
Можно найти решение уравнения (2.7) и для произвольной поверхности Ферми, если ф(/7, = фо == const. Тогда снова имеет вид (2.9), где
Y=_us_
, I 2^0 Г dS (2.11)
+ (2яй)3 J I Ve (р) I
-350 Формулы (2.9), (2.2) и (2.6) позволяют записать для равновесного состояния:
AE2 = -V В, в = (2.12)
Эти выражения мы используем ниже в теории спиновых волн.
Заметим, что формулы (2.12) могут быть использованы для определения статической парамагнитной восприимчивости X электронной жидкости, которая определяется соотношением *)
2^ Sp J dpns= (? J dpa(p). (2.13)
Очевидно,
^mImW' (2Л4)
В частности, для случая сферической поверхности Ферми [4]
1 + Po
где Xo — парамагнитная восприимчивость электронного газа.
3. Для рассмотрения возбуждений над основным состоянием электронной жидкости, находящейся в постоянном и однородном магнитном поле, изучим малые колебания распределений. Будем считать, что функция распределения мало отличается от фермиевской /0(е), а векторная функция спиновой плотности в фазовом пространстве имеет вид (ср. формулу (2.12))
а = -у ^f-H0+ 6а, (зл)
где 6а — малая неравновесная добавка, a H0 — постоянное и однородное магнитное поле**).
Ограничим себя рассмотрением малых колебаний, для которых 6а перпендикулярно H0. В этом случае-кинетическое уравнение (1.13) приводит к следующему уравнению:
dt ' \ дг) \ дг 1 j ' с \ 0 др /
X (to -^to2) [л0 X (to -?-??)] = ft/2, (3.2)
*) Статическая парамагнитная восприимчивость мала по сравнению с единицей.
**) Малость статической магнитной восприимчивости неферромагнитного металла позволяет вместо магнитной индукции B0 писать H0.
-361 где
oe2 = — + J dp'ty (р, р') to (p'. г)
и & — переменная магнитная индукция.
Для функции ф ниже мы будем использовать выражение (2.8), считая соответственно поверхность Ферми сферой. В качестве интеграла столкновений мы используем следующее модельное выражение *):
1 , 1 Wa-dfos„
Здесь т — характерное время релаксации импульса электрона, a T2 — время переброса спина. Поскольку переброс спина обусловлен спин-орбитальными или магнитными взаимодействиями, то в реальной ситуации т2^>т. Ниже главным образом нас будет интересовать случай, когда столкновения, приводящие к релаксации импульса, сравнительно редки. При этом использование модельного интеграла столкновений (3.3) не может дать значительного отличия от истины.
Длинноволновые спиновые волны в окрестности частоты обычного парамагнитного резонанса электронов проводимости можно описывать с помощью макроскопического уравнения для неравновесной плотности намагничения:
т (г, 0 = P0 J dp Ьв (р, г, t). (3.4)
Нетрудно видеть, что после умножения уравнения (3.2) на P0 и интегрирования по импульсам получается
(-?- + ^ [(т- х&) X H0]). -Kl + ?.) =
= _I±Pl(m_x&)., (3.5)
где
St7=Mo[dpvt60j. (3.6)
В условиях, когда пространственная неоднородность несущественна (можно пренебречь последним слагаемым левой части уравнения (3.5), содержащим производную по коорди-
*) Относительно интеграла столкновений в теории вырожденной ферми-жидкости см. [8].
-352 нате), уравнение (3.5) соответствует уравнению Блоха, составляющему основу теории электронного парамагнитного резонанса [9], Для описания спиновых волн необходимо учесть роль пространственной неоднородности намагничения. Если длина волны X спиновых волн велика по сравнению с лар-моровским радиусом электрона R в магнитном поле H0, то для получения явного выражения слагаемого уравнения (3.5), содержащего пространственный градиент, удобно воспользоваться методом моментов [10]. Ограничиваясь первым приближением по степеням R?, можно принять
KbaJ [\ dp '(m,+ у $ (3.7)
Тогда с помощью уравнения (3.2) получаем следующее уравнение для
1 дЪп
Гffr ~~ Qeiun&j + qOе+
+ тЙтЬ-¦'¦*>> = - (т+їг) ^ "" т:<3-8>
где U=H0IH0, Q0 == 2уH0Ih = [2иоЯо/А (1 + ?o)l=w,/(l + P0). Q = eH0vjcp.
Считая Ь, т и зависящими от времени —е~ш, мо-
I
3 (— /ffl + V)'2 + (O0 1 4 ' 'dz
жно записать решение уравнения (3.8) в следующем виде:
V= ¦-т--, ,1;:?,., f(- -+V) тг (»/ - W -
(00,1 Ktn - yjb) X n]j} , (3.9)
-гъ~
— xb
Ijry ± = - / (1 + Po) (? ± / А)
/((о —
т" —гЪ
(3.10)
1. (3.11) V-г((0_ (Oill)J
Здесь принято, что ось ориентирована вдоль H0, и учтено, что неравновесная плотность намагничения т перпендикулярна постоянному магнитному полю. Кроме того, V = (I-I-P1)Zt, OTrt — тх±imy, b± = bx + iby и
u3;,„ = (Q0 + /Q)(l+?„). .(3.12)
23 а. И. Ахиезер ,353 Формулы (3.9) — (3.11) позволяют записать следующее уравнение для неравновесного намагничения:
- кот + [(« _ ХЬ) X Я0] - (я И" (т - гЬ) +
+ Df ШХ(т- Xb)]] - j А - (n Aj2 j (D<]> (m _ xb) +
+ Df [n X (m-tb)]} = _I±?iL(m - xb), (3.13)
T2
где
Dil" = (1 -f ?o) (1 + P1) ~ Г-гу-L-- H--TT^-ті ,
I! V I KU/V I fi/ Q [v —г (в-f B0, ,) 1 V — і (ffl — ffl0, ,) J
DT = і ( 1 + ?o) (1 + P1) [v-^'-«..,) - V-=^W] • Q(l) = (l+?o)(l+?1)^[v_/(MVm t i} +
