Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что для реальных металлов эффективный радиус междуэлектронной корреляции по порядку величины близок к междуатомным расстояниям. Поэтому формула (1.4) может быть использована для широгого класса явлений в металлах. Отметим также, что функция f (р, р'), возникшая в формуле (1.4), для реальных металлов неизвестна. Одной из нерешенных пока задач физики металлов является экспериментальное определение этой функции *).
Для интересующей нас проблемы спиновых волн существенна кинетическая теория ферми-жидкости. Волны в заряженной жидкости частиц со спином могут сопровождаться электромагнитными полями. Поэтому для их теоретического изучения следует пользоваться уравнениями электромагнитного поля:
rot —j—= 0, div E =4пе Sps { dp 6п,
div A = 0, rot*_If =^-SpJ dp^n +
(1.7)
-J-SnporotSpj. dpsn.
*) Приведем здесь выражение, получающееся с помощью вычислений, трактующих взаимодействие электронов как малое возмущение. Соответствующий результат имеет вид [5]
1
/(Р. Р') = -Ф
где S — оператор спина:
Р~Р
(1+4SS'), . (1.6)
1/0 1\ 1 /0 — Л 1 /1 О
Sjc ~ 2 \ 1 oj' sy~2 \/ 0 j' s*~2\0 —1
а Ф (k) — фурье-образ потенциала энергии взаимодействия двух электронов. Если для последнего принять экранированный кулонов-ский потенциал, то
Ф ,,. ___4Jte2h2_
( } ЬЧ* + р* (4<?2/яbv) '
где р и V — импульс и скорость электрона на поверхности Ферми.
Поскольку для большинства металлов e2jhv 2, то использование теории возмущений не является обоснованным. Однако нельзя также отрицать эвристическую ценность подобных результатов, позволяющих качественно понять целый ряд явлений.
-347 Здесь — оператор магнитного момента электрона, а 6е0(р, г) = — 2ио(вв) + Sp,-J dp'{y(p, р') +
+ 4(м')ф(р. р'))Ъп(р', г). (1.8)
В последней формуле, в отличие от формулы (1.5), мы опустили дальнодействующее слагаемое, учли влияние магнитного поля, а также конкретизировали спиновую зависимость функции (при этом пренебрежено малыми спин-орбитальными взаимодействиями).
Для матрицы плотности можно записать следующее уравнение движения [3]:
дп і . ~ ~ . 1 / дг0 дп . дп дг0 \
Tt fi ІЄ°' 2 I dp дг ^ дг др
_ 1 / де„ дп . дп де0 \ . рдп .
2"1 дг др ' др дг др '
Здесь [є0, и]_ — коммутатор матриц в пространстве спина, а / — оператор столкновений.
Удобно вместо п воспользоваться функцией распределения / = SpjW частиц в фазовом пространстве координат и импульсов и векторной функцией о" = 2 Spj Sfl спиновой плотности в фазовом пространстве. Тогда, учтя, что
(E0)mn = OmnEl +2 (S)mn E2, (1.10)
(J)mn =SmnZ1 + 2 (S)mJ2, (1.11)
из (1.9) получим:
df . деі df_ Jie1 df , дг2 да _ дг2 да .
Tf ' др дг дг~ "др ' dp j drj drj dpj '
df e Г 1 o/ e Г дє2/ 1 да;
W+тЬтгх*Ь+ты XbIw='*-
(1.12)
-348 Аналогично уравнения поля запишутся в виде
div?=4ne J dpbfip, г), (1.14)
rot Я = -Jr + 4лр0 rot J dpa (р, +
Г ^e1 де г/ 1
Х(Ж/(Р. г) + ^а,.(р, г)}. (1.15)
Уравнения (1.12) — (1.15) составляют основу кинетической теории волн в вырожденной электронной ферми-жидкости. Укажем, наконец, что согласно (1.8) и (1.10)
бel(p, г)= J dp'cpip, p')o/(p', г), (1.16)
бє2(р, r) = — li0B+jdp'ip(p, p')oa(p', г). (1.17)
2. Спиновые волны представляют собой возбуждения над основным состоянием электронной жидкости, находящейся в постоянном и однородном магнитном поле. Поэтому сначала нам следует рассмотреть равновесное состояние, для которого нужно знать матрицу плотности п, учитывающую парамагнетизм электронной жидкости.
Поскольку изменение химического потенциала является величиной второго порядка по В, а энергия электрона претерпевает линейное изменение, то, ограничиваясь линейными по В членами, можно написать [4]:
(2.1)
где /0 (є) — функция распределения Ферми. Соответственно этому можно считать, что функция распределения частиц в фазовом пространстве не отличается от /0, а векторная функция спиновой плотности в фазовом пространстве имеет вид
G(P) = ^1AE2(P). (2.2)
Подставив это выражение в формулу (1.17), найдем уравнение, определяющее Ae2:
Ae2 (р) = - H0B + J dp'H> (р, р') Ae2 (р'). (2.3) Поскольку
-?0=--^^-?)' (2-4)
-349 где є0 — энергия Ферми, то уравнение (2.3) можно записать в виде
Лва(р) = _м0в—Дг/Т^ГФ(р. POAeaOiO. (2-5)
где dS' — элемент поверхности Ферми.
Очевидно, что можно представить решение уравнения (2.5) в виде
As2,ДР)= -yij(P)Bj. (2.6)
При этом ytj уже не зависит от магнитного поля и определяется уравнением
V*» + "^/ I-VTWtcp' = (2.7)
Уравнение (2.7) легко может быть решено в том случае, когда поверхность Ферми является сферой. Отсутствие выделенных направлений позволяет тогда считать функцию ф(р, р') лишь функцией угла 0 между векторами р и р', лежащими на сфере Ферми. Поэтому оказывается удобным использовать разложение функции ф по полиномам Лежандра:
OO
Ч>(/>. PO =2](2/ + 1)?^(cos0)' (2-8)
Я2Й31/
/=O
где V— скорость на поверхности Ферми, Ti— постоянная Планка, — постоянные коэффициенты и
W=W
При этом решение уравнения (2.7) можно записать следующим образом:
