Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим также, что в плотность потенциальной энергии
dut
ферромагнетика вектор смещения входит в виде , а не
Ouj ди/
в виде симметричного тензора деформации Uij = -щ- — ,
как это имеет место в обычной теории упругости. Это связано с тем, что в инварианты, определяющие плотность потенциальной энергии ферромагнетика, наряду с градиентом вектора смещения входит плотность магнитного момента.
Используя формулы (15.7.3), (15.6.2) и (15.6.4), можно найти эффективное магнитное поле H и тензор натяжений в случае малых градиентов магнитного момента и вектора смещений:
да душ д\іт
Hs — Hs дь
_ (2 Щш + ц ft jM ^
\ Ф* ФтФі ' ls д\іт j
dim
1 д ( , д]і[
№ =2р
1 P дЪт +y^ +
+ [2?,/; ks + Vk?ls + У Is6Hl + -?1 } '
f 1 dlIm
k ~7y Ыт\ Vm' лтт bw + Xlm' ^mV ^u - M+
дХГт, 1 да _ .1 д*а
Idul,
+ {2^-H Y4A + ЗЫ & + 2^+
153§ 16. Связанные магнитоупругие волны в ферромагнетиках
1. Линеаризованные уравнения движения. Используя полученные в предыдущем разделе выражения для эффективного магнитного, поля и тензора натяжений, легко вывести уравнение движения для магнитного м9мента и вектора смещения, которые в принципе могут служить для исследования связанных магнитоупругих волн произвольной амплитуды, лишь бы градиенты магнитного момента и вектора смещения были достаточно малы, Однако мы не будем здесь заниматься нелинейными магнитоупругими волнами, а ограничимся только исследованием волн малой амплитуды. С этой целью Мы должны провести в выражениях (15.7.3), (15.7.5) добавочное разложение в ряд по степеням отклонения магнитного момента ц от его равновесного значения ц0, для которого выполняются равенства
^(Mo) = O. (?) =0,
\ "Г /ц-ц0
являющиеся условиями минимума потенциальной энергии. Приведем результаты разложения, предполагая для простоты, что ферромагнетик является одноосным. Плотность энергии имеет вид
111 du, Oul,
+I К!?)2 ^+4 т KMw - V) X
ди. ди,, і / д (an) \2
+ ^oPo (/ (tl^lm + ПпРи) + ?^lл, + + (H1") [Ф + d) nLnm + colm] );? + } Q2M + \ Plb {Vnf.
Здесь H1 — малое отклонение магнитного момента и от равновесного значения H0, п — единичный вектор вдоль оси легкого намагничения, т. е. параллельный вектору H0, а — обменная константа, р0 — равновесная плотность ферромагнетика ?, b, /, с и d —некоторые постоянные» входящие . в выражения
154I д2а \ I дХш \ .
ДЛЯ I ФІФа Jo " I Ф* /о*
1 / <Э2а
2_ IdXlm Po I Ф.
2 - , = ?o«+ *«,«»¦ (16.1.1)
Po \ФіФй/о
= /^o (бтЛ + bIsnm) + c6/m" А + dnInтпsVО-
(16.1.2)
(постоянная ? совпадает с константой анизотропии, введенной в § 3); в рассматриваемом приближении эйлеровы и лагран-жевы координаты, очевидно, не различаются.
Эффективное магнитное поле определяется формулой
H = h — Popfi1 + Po«,-ft - PoHo [(/ + Р) V (««) +
+ / (ZtV) и] - ир0 [Ь (Zin1) + с (Va) + (0 + (ztV) (no)];
(16.1.3)
тензоры натяжений , и t'lm имеют вид
4Й = P0 Plm; Vm- + Ш" if + Р) 6тт-П1П1- ~
ди,,
- / КPo)2 VW) + PofxQ ((/ + р) I1lm"/ +
+ A1U71m + ГСЬ1,п + {Ь + «/»ml M-
HS = WAnm- (16Л-4)
ovr 1 і ~ 1
'to, = 'Ito; Е"«РГР* \Н* + W Г°Ч VJ '
где
Vm; /'m' = hm-, Vm' + {(6 + nInmnVnm' +
+ С (6ImnVnm' + 6Vm-tlInm)+f Km-nInV +
+ 6,„я п ,4-0, ,п,,п +6,, п.п Л].
1 IV m m 1 Im V т 1 Vm I т)у
Используя эти формулы, получим, согласно (15.6.1)— (15.6.4), следующую систему линеаризованных уравнений:
^L = ^0 (Я X A) +Л
р0?=F + /". сііу(Л + 4лр0д! 4-4лр,д0) = 0, (16.1.5)
rot А = 0, Pi + Po div, V = 0,
155где Pi — отклонение плотности ферромагнетика от равновесного значения и F, F' — плотности упругой силы и силы трения.
I - ш: = Po {Km; «V+WV+IDL'»,»,' -
^f- OXm \ im ' im J im\ i m' 1 v и» u/ w 1 ¦ ' mt
A2n ( A,.
x\m
d2ur [ дц.
-(^oPo)2/6H'ramram'} + PX {(/ + ?)^
д
+ /("VJH1,+
дх
г + (b + d)Hl(TiV) (ц,я) + p0fx0 (nV)
|A
г
(16.1.6)
д дЧ>,, 1
F' = -з—=Т1, „ -4--bo— rot,R.
I dxm Im Чт-1'm' дхтдхт.^ 2g l ^
Наконец, релаксационный член определяется формулой
Полученные линеаризованные уравнения показывают, что изменение магнитного момента происходит не только благодаря действию магнитных сил, но и благодаря деформации ферромагнетика, а изменение вектора смещения — не только благодаря действию упругих сил, но и благодаря неоднородности магнитного поля и магнитного момента. Эта связь между магнитными и упругими величинами обусловливается магнитострикцией, энергией магнитной анизотропии и пондеро-моторными силами.
2. Взаимодействие звуковых волн со спиновыми волнами и магнитоакустический резонанс. Предполагая, что величины и, Л и p1 изменяются со временем по закону e-i(<i>t-kr)_ где ,J) и J1 — частота и волновой вектор связанных магнитоупругих волн, можно с помощью линеаризованных уравнений (16.1.5) получить дисперсионное уравнение, связывающее между собой величины со и k. Однако в общем случае произвольных тензоров Xik. [т, Цік. 1т и произвольного направления распространения волны это уравнение имеет очень громоздкий вид и его трудно исследовать. Поэтому, чтобы проанализировать основные свойства связанных магнитоупругих волн, мы ограничимся рассмотрением простейшего случая, когда ферромагнетик можно считать изотропным относительно его упругих свойств, т. е. будем предполагать, что