Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
5. Изменение энтропии деформированного ферромагнетика. В формуле (15.1.14), так же как и во всех предыдущих формулах, не учитывалось изменение энтропии ферромагнетика. Между тем плотность энергии зависит от энтропии, поэтому под dwjdt следует понимать производную от плотности энергии по времени при постоянной энтропии единицы массы s, и, следовательно, уравнение (15.1.14) правильно записывать в виде
(dw \ . __
где
1 dw \ _ dw dw ds
~дГ)3~~ді ds Ж"
С другой стороны, в силу закона сохранения энергии
где X — коэффициент теплопроводности. Поэтому ~ ds . д ( дТ \
-P ТЧЇ + 1)Гк{*1)Гк) = -Ч
^мы учли, что = Используя далее уравнение непрерывности, получим окончательно д , Ч I dI К дТ \ ( 1 dT \2 q
Величина рsvk--представляет собой плотность потока
энтропии, а правая часть равенства — плотность источников энтропии.
6. Основные уравнения. Выпишем для удобства основные уравнения, определяющие изменение со временем
149 различных величин, характеризующих упруго деформированный ферромагнетик.
Уравнение движения магнитного момента единицы массы ферромагнетика имеет вид
jI-= ^ Ol X Я)+і Я, (15.6.1)
где эффективное магнитное поле H и релаксационный член R определяются формулами
V дхк J
Rj = rJk (^ft+27 rot
Уравнение движения для вектора смещения и уравнение непрерывности имеют вид
d*ut _ dtlk м dt2 dxk '
Ф
dt
div рг> ==0, (15.6.3)
где тензор натяжений tik, складывающийся из бездиссипатив-
ной tf? и диссипативной t'lk частей, определяется формулами '« = <»+<«• ^ =
Ли) _ dF dh dF ф,
lik м дщ axi р ф, axi '
0 dxk (15.6.4)
/ 1 / dvs dvp\ 1
'"=2" tH sp [Ж; + "3*7/ + ~2g
Уравнения магнитостатики имеют вид
, и 4я . rot H = -J,
div B = O,
rot?„±^, (15.6.5)
с dt
div D = 0,
150 где j — плотность тока,
y = + (15.6.6)
Наконец, уравнение, определяющее изменение энтропии единицы массы, имеет вид
д , Ч I dI У. дТ \ ( \ дТ У . q
где q — количество тепла, выделяемое в единице объема ферромагнетика,
Ч = + Г„ (й, + Ji Wil с) (й, + -jL rov„) +
+ %,,.??- ОЬв.8)
7. Случай малых неоднородностей. В заключение этого параграфа приведем выражения для плотности потенциальной энергии ферромагнетика, тензора натяжений и эффективного магнитного поля в случае малых градиентов плотности магнитного момента и вектора упругого смещения. Записав инварианты Iij, Ki, Kij в виде
дик фу д\ик дик
I4 = Ьц 4 2Uij, K1 = Iii 4- Iik , Kij = -щ 4- -щг W • где UiJ — тензор деформаций в лагранжевых переменных
_ 1 I дЩ duj_ і ^к_ дик \ u' J-т VW + W + W I' разложим функцию F (Iij, K1, Klj) в ряд по степеням Uij и K1J, ограничиваясь членами до второго порядка включительно:
F = a + 2l, и, -)- 2?. „ ,и, К„ , + V, K1 4-
1 Im Im ' ^lm-, ! m Im I'm ' 4m Im '
+ + YV/'m'Vrm" (15.7.1)
Здесь a, Klm, ?,m.rm,, y!m, Ilmillm,, ylm. ym, — некоторые функции инвариантов K1, причем, очевидно, в функциях IWm" \т; Vnl" Уш-.Гт" М0ЖН0 3аМеНИТЬ Ki H3 Щ. ЧТО ЖЄ касается функций a (Ki), Xlm(Kl), уim(Ki), то они должны
быть разложены в ряд по степеням вплоть до членов
151 второго порядка:
„(К\ — п(\J Ї-4- да її ди" -U 1 д*а ¦¦ д"к и д"1
^(^) = ^/)+?^?-. (15.7.2) = (ui) + -ff Ц. ff-
Подставляя эти разложения в (15.7.1), получим окончательно
Г 1 1
IT^rm'+T +
P 1 д»т ^m' , fl, ,1
2 >/т;/'т' (? (?
-і du, du,, ґ da ) du,
+Vi- tr + ? + {A- + ^ + -}Ж Ж'¦
(15.7.3)
Здесь величины Yimjrm,, \т. Vm„ \т, ylm, ?ks.lm, а, являются произвольными функциями P7, ограниченными только соотношениями симметрии:
^lrrrl I'm' ^Vт'; Imi ^lm; I'm' ^7'т'; Im ^m'I' \ Im'
lIm=Kw hs; Im = $sk; Im' (15'7'4)
Заметим, что величины ylm, Vm, и а связаны с величинами Щт\1'т' и I^a. Введенными В § З, СООТНОШЄНИЯМИ
Wm' =PoaIm-, I'm" й = j; Wa-
где р0 — плотность ферромагнетика в отсутствие деформаций, а величина у1т совпадает с величиной у1т, введенной в § 3.
Как видно из (15.7.3), плотность потенциальной энергии ферромагнетика содержит как члены, зависящие только от плотности магнитного момента и только от градиента вектора смещения, так и члены смешанного типа, зависящие и от плотности магнитного момента и от градиента вектора смещения. Последние члены и обусловливают связь между спиновыми и упругими волнами в ферромагнетике.
Величина а (р.) в выражении для F представляет собой
плотность энергии однородно намагниченного ферромагнетика, т. е. плотность энергии анизотропии. Обратим внимание на то, что эта величина входит в потенциальную энергию ферро-
152 магнетика также и в виде первой и второй производных по плотности магнитного момента. Благодаря этому возникает дополнительное слагаемое в плотности магнитострикционной
/ да dui \ энергии слагаемое -з—и в плотности упругой энер-\ Фт "Sm / / 1 д2а Oul диг \ гии слагаемое —3-р.и,, • —•-). Иными сло-
вами, энергия магнитной анизотропии приводит к дополнительной магнитострикции и к дополнительному изменению модулей упругости. Важно подчеркнуть, что эти изменения не могут быть сведены к переопределению величин Xlm и Xirn- і'т'з так как при этом нарушались бы свойства симметрии (15.7.4).
