Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
144границу ферромагнетика будет иметь вид
S,+ =ri*-^(lpt/2 + pF+^-) (15.3.6)
(второе слагаемое в этом выражении представляет собой плотность потока энергии, обусловленную движением поверхности тела). Аналогично
где второе слагаемое, так же как и второе слагаемое в формуле для S+, представляет собой поток энергии, обусловленный движением поверхности тела.
Используя соотношения (15.1.10), (15.1.15), (15.1.11), (15.1.12), можно представить S+v в виде
s+v = -^v,+ ^ v [?+, н+\ +
dxk
Подставляя сюда выражение (15.1.11) для tlk, получим
5+ у = - v,tlkvk 4- (Я+)х { ^r (V X (?+)т) - «V (ВЛ } +
і 1 г, /W4 dF dto
+ Л - P ^va "Ж'
дхк
Используя (15.3.4), можно представить $~х в виде S-V = - Vl^vk4-(Я_)т|^(vX Е_)х - ^ «v(W_)T } +
Сравнивая это выражение с выражением для S^x и используя граничные условия (15.3.2), (15.3.3), получим
dF
дхк
' 0. (15.3.8)
5
Заметим, что при учете теплопроводности непрерывность
нормальной составляющей плотности потока энергии также
будет выполняться, так как температура удовлетворяет
10 А. И. Ахиезер 145граничному условию
(15.3.9)
(Мы пренебрегаем процессом лучеиспускания; при учете последнего необходимо учитывать также наличие дополнительного теплового потока электромагнитной энергии вне и внутри тела.)
4. Следствия из закона сохранения момента количества движения. Для учета диссипации энергии мы ввели чисто формально в уравнения движения тензор Jik и релаксационный член R1. Покажем теперь, что между этими величинами существует определенная связь, вытекающая из закона сохранения момента количества движения [3, 4].
В обычной теории упругости плотность момента количества движения равна, как известно, PtlklXkVl. В ферромагнетике к этому выражению должна быть добавлена плотность
спинового момента количества движения Поэтому мо-
мент количества движения ферромагнетика определяется формулой
(мы не учитываем здесь момента количества движения электромагнитного поля, так как пользуемся магнитостатическим приближением), Продифференцируем это выражение по времени:
(первое слагаемое определяет изменение Ji, обусловленное изменением поверхности тела со временем). Замечая, что
и учитывая уравнения упругости (15.1.1), (15.1.2), получим
(15.4.1)
д dvi д .
д da, д ,
dvі
dt 146
dl і
/ Wktlj eMtlt + j p ^r } dr , (15.4.2)В силу закона сохранения момента количества движения объемный интеграл в этом выражении должен обращаться в нуль, т. е.
{ { Wrt - Р(ц X H)i - у R1} dr = 0. (15.4.3)
(Мы использовали здесь уравнение движения магнитного момента.) Поверхностный же интеграл, в соответствии с (15.3.3), представляет собой момент сил, действующих на тело со стороны электромагнитного поля вне тела:
-^l= ( BlbSbMdS..
dt J IM Ь и J
Тензор tlk содержит, как видно из формулы (15.1.11), только первые производные магнитного момента ц по координатам, а эффективное магнитное поле H содержит также и вторые производные Поэтому, используя гранич-
ное условие (15.3.8), можно переписать уравнение (15.4.3) в виде
f I Ww + *«« -Й; P ^r - P X -
( dxs
откуда
Wi* = Р^^.-^ + уЯ'- (15-4-4)
dxj
Это соотношение заменяет в случае ферромагнетиков соотношение симметрии tlk = tkl для тензора натяжений в обычной теории упругости [3, 4].
Если бы диссипация энергии отсутствовала, то соотношение (15.4.4) имело бы вид
Zikitfk = реши* ремЩ. -ig-. (15.4.5)
dxj
Легко, однако, убедиться, что последнее соотношение справедливо и при наличии диссипации энергии. Действительно, замечая, что и используя выражение (15.1.11)
10* 147для t\f\ перепишем (15.4.5) в виде
Au) dF дць dF Zlkltlk = — pe/ft/fXft ^--PZlkl
д\Ч [ axj д '
дх]
Учитывая далее формулы (15.2.4), (15.2.5), можно преобразовать это соотношение к виду
dF dxkdF Q (15 4 6)
\ д Jtot dlm "Г" d ф^ ogm "Г ^
^lm dg
Ho /7 является не произвольной функцией величин -gjp-. H-/>
-?-> а функцией инвариантов Л-;, Klj-, построенных из
этих величин. Поэтому, как легко проверить, это соотношение удовлетворяется тождественно.
Вспоминая, что ^lk = tf^t'lk, получим из (15.4.4), (15.4.5)
Kt = ^ikAk- (15-4.7)
Это важное соотношение, связывающее между собой дисси-пативные члены Ri и t'lk, является, как мы видим, следствием закона сохранения момента количества движения.
Разлагая тензор t'lk на симметричную и антисимметричную части:
= C + (15.4.8)
представим, согласно (15.4.7), выражение (15.1.15) для количества выделяемого тепла q в виде
+ + (15.4.9)
Это выражение должно быть положительным при произвольных значениях H1 и -^j-. Поэтому мы можем положить
Rt=rik[Hk + rot* г>),
148где величины Г Ik, г\ik. sp представляют собой положительно определенные тензоры, т. е. тензоры, для которых
tikxixk > О, Tb. spylkysp > О
при произвольных значениях x1 и ylk, отличных от нуля. Таким образом, формула (15.4.9) принимает вид
Ч = ^ P + rik [H1 + 27 rot,- ©) (нк + rot4 V
-f.« (1541П
^nIk; sp дхр дхк- 1)