Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы определить эти комбинации или, как мы будем их называть, инварианты, удобно ввести наряду с эйлеровыми координатами лагранжевы координаты связанные с эйлеровыми координатами соотношением
r = g + e(|, t). (15.2.1)
где вектор смещения а рассматривается как функция § и t.
При повороте тела преобразовываются проекции магнитного момента ферромагнетика \ik и эйлеровы координаты хк, соответствующие положениям точек тела в деформированном состоянии, лагранжевы же координаты служащие для того, чтобы «нумеровать» отдельные элементы ферромагнетика, остаются неизменными.
Нам нужно составить инвариантные комбинации переменит dui
ных и , или, что то же самое, переменных
іщ- , . В последних векторным индексом является только
индекс і (индекс k, связанный с лагранжевыми координатами можно не учитывать, так как эти координаты не подвергаются вращению). Поэтому задача состоит в том, чтобы построить все независимые инварианты с помощью трех
, ф; , дХі
векторов |l/f Ii, = -^. хі=^-дI^-
Можно показать, что число таких инвариантов равно 18 и что в качестве них могут быть взяты инварианты
/ ^L1 К ^ ^L1 к (15.2.2)
4 дІі Mj ^ dlL Ч Oli dlj
141Другие инварианты, например:
1|2_и „ п — п — и
H — flftll*. "ц — д1. -Щ7 . Qi — М* -щг •
Г— — дх^дх^дх^ _ dXj djij
L—6" BiJ*Bmr dh dlm dlr ' Wlm-Eijk dh dlmiik,
і ^L ^L ^L p __L ^fL dx> d^k "6 ?/ "~ 2"^IT'
_ 1 г)*,- dXj
Qrn -= 2" Ei;»Ete' dh д?„ • n~T zWzImn -щ^ 1?' _ 1
Ит — ~2 tIjkzImr -Щ 1?'
могут быть выражены через инварианты Iij, Ki, Kij. Действительно,
^ = KiITr1Kl, Gim = KmnInr1Kr,, C2 =AttIіj, G = -і- det Ki1, Pm = Ci;m Knn,, Tr = CI-1Ks,
Qrn — 2Q ^tkszImrIIfKmkKns, Wim = -gr EnsfIIrlKmsK1 ,
Pr = ~2~C ^kstzImrKIkKmsKt.
Таким образом, ограничения, связанные с инвариантностью функции F относительно вращений, сводятся к тому, что F
является не произвольной функцией переменных , -^1
OXfc OXfc
(число их равно 21), а функцией только 18 инвариантов Iij, Ki, Kij
F = Fdij, K1, Kij). (15.2.3)
Так как инварианты Iij, Ki, Kij содержат производные от и Xk по лагранжевым переменным Iti, то мы приведем здесь выражения для эффективного магнитного поля H и тензора натяжений tfk в лагранжевых переменных. Замечая, что
dF _ dF Oxs dxk ^ dF Oxk
д oUj д OUs dh dlp 1 д dli dl
dxk dip dip
dF __ d F Oxk
д " д V±_ dip ' Oxk dip
(15.2.4)
142получим из (15.1.11), (15.1.9)
Ли) dF dxk
=P -ЖЖ' dlm
Hl = Hf+ (15.2.5)
Фг P oxk д\п д?,т j >
3. Граничные условия. Сформулируем условия, которые должны удовлетворяться на границе ферромагнетика с вакуумом.
Рассмотрим прежде всего граничные условия для магнитного и электрического полей. Из уравнения div B = 0 следует непрерывность нормальной компоненты вектора магнитной индукции на поверхности ферромагнетика S:
\B+=vB_, (15.3.1)
где индексы плюс и минус здесь и в дальнейшем служат для обозначения полей внутри и вне ферромагнетика вблизи его поверхности HV — единичный вектор нормали к поверхности.
Граничные условия для тангенциальных компонент поля проще всего получить путем перехода от неподвижной системы отсчета К к системе отсчета К', движущейся вместе с данным элементом поверхности тела, скорость котороїо (направленную вдоль нормали v) обозначим через vv. В системе К' справедливы обычные граничные условия — непрерывность тангенциальных составляющих Ex и /Ут. Согласно релятивистским формулам преобразования эти требования эквивалентны условию непрерывности тангенциальных компонент векторов E-iT-(tOy^B), H — -(Vy(D)^ff (приближение магнитостатики формально соответствует тому, что D = O).
Взяв проекции этих векторов на плоскость, перпендикулярную к v, получим искомые граничные условия
V X (Н+ —#_) = 0. (15.3.2)
Покажем далее, что тензор натяжений tik удовлетворяет граничному условию
Ij = f$v* (15.3.3)
143где t(fl — тензор натяжений электромагнитного поля вне ферромагнетика
и H — магнитное поле вне ферромагнетика. Введем для этого импульс ферромагнетика
P1 = j PXfi dr
(в приближении магнитостатики можно не учитывать импульса электромагнитного поля внутри ферромагнетика). Изменение импульса в единицу времени должно равняться силе, действующей на ферромагнетик со стороны электромагнитного поля вне ферромагнетика, т. е.
dPj dt
С другой стороны, dPi
dt
J MdSh.
S
J W Pvidr+ I PvIvX dSk-
Замечая, что
д dvi д
St № = Р-Щ—зї-
и используя уравнения упругости (15.1.1), (15.1.2), получим j MdS,= j tikdSk,
S S
откуда и следует соотношение (15.3.3).
Используем, наконец, непрерывность нормальной составляющей плотности потока энергии на границе ферромагнетика:
S+v = S~v, (15.3.5)
где S+ и S- — плотности потока энергии вблизи границы внутри и вне ферромагнетика. Эти величины должны быть определены с учетом движения границы ферромагнетика. Поэтому, если П — плотность потока через неподвижную поверхность внутри ферромагнетика (она определяется формулой (15.1.15)), то плотность потока S+ через подвижную