Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Затухание собственных колебаний частоты а}р характеризуется декрементом затухания у(р, определяющим изменение со временем амплитуды собственных колебаний Aj,
-VwZ
AJ (t) =Aj(O)e у}'.
Чтобы найти декременты затухания у(р, нужно решить уравнение
А (со) = det (1 -f 4n/V ? (со)) = 0,
в котором компоненты тензора % (со) определены с учетом диссипативных процессов в спиновой системе. Корни этого уравнения будут комплексными, причем их вещественные части будут определять частоты, а мнимые части — декременты затухания собственных колебаний.
Перейдем к определению энергии, которую поглощает образец, находящийся в стороннем переменном поле:
Мы будем предполагать, что период этого поля значительно больше времени установления локального равновесия
89 в веществе образца. В этом случае уравнения (5.2.1), (5.2.4), выведенные для постоянного поля, будут справедливы и для
переменного поля. Поэтому ( j = 0 и, следовательно,
производная от энергии образца по времени будет равна
dW dW dh{e) dh{e)
dt dh{e> dt dt '
где V — объем образца (мы учли однородность поля /г(е)).
Усредняя это выражение по времени, найдем среднюю энергию, поглощаемую ферромагнетиком или антиферромаг-четиком в единицу времени:
dW ,. dhW , |ч
~дГ ~ ~ ~~dt~' ^10-4-1)
где т — переменная составляющая магнитного момента и черта сверху означает усреднение по времени. Вспоминая, что
m(<a) = X(<о)(1 4 4JtZVx(Q))-1 h(e) (со),
и используя соотношение
Xii (—®) = Х(У(«).
представим mit) в виде
т (0 = у? (CO)V'0" + І Ї'*<Р)ЬІ*Ш. (10-4-2)
где
Ґ (®) = X (®)0 + 4.TT/V X (w) )-1-
Подставляя, наконец, это выражение в (10.4.1) и производя усреднение по времени, получим
1 SW ia
V dt
XaO(X/(®)-X'+(<°))A0. (10.4.3)
Мы видим, что поглощение энергии образцом определяется антиэрмитовой частью тензора х'(®)' который связывает переменную составляющую плотности магнитного момента со сторонним переменным магнитным полем.
Антиэрмитова часть тензора х'(®) особенно велика в области резонансных частот. Например, в случае одноосного ферромагнетика с магнитной анизотропией типа «легкая ось»
90 и Hf ||n тензор ?'(со) имеет, согласно (10.2.2), (10.2.1), следующий вид:
gM. о
, Ш, -}- CO2 co1ol2 — i ——ь—- ш — ш2
gM0x
. ш
CO9 — г — 2 X
гсо 0
м ^
— гсо со, — I-1 х
0 0 О,
(10.4.4)
и поэтому его антиэрмитовая часть при со, близких к частоте однородного ферромагнитного резонанса, определяется формулой
X'(w)-X,+ (w) =
X
[ (со«)2 _ CD2]2 + СО«3 [ V
\ gM0x J
со2 гсо« 0 ¦ 2 , -to« Q1 0 ]. (10.4.5)
О
О о
§ 11. Неоднородный ферромагнитный резонанс
1. Общие уравнения для определения частот неоднородного резонанса. В предыдущем параграфе мы рассмотрели простейший вид собственных колебаний плотности магнитного момента в ферромагнитных и антиферромагнитных образцах — однородные колебания. Перейдем теперь к рассмотрению более сложных собственных колебаний плотности магнитного момента, при которых поле и намагничение зависят от координат, но колебания по-прежнему являются магнитостатическими [8, 9]. Для этого необходимо, чтобы фазовая скорость волн, соответствующих таким колебаниям, была значительно меньше скорости света с, т. е.
А,со с,
где X— длина волны и со— частота колебаний. Кроме того мы будем предполагать, что пространственная дисперсия магнитной восприимчивости несущественна. Это предположение справедливо, если длина волны колебаний X удовлетворяет неравенству
VacK
91 где а== а у -щYJvT¦ Итак, мы предполагаем, что длина волны колебаний лежит в интервале *)
У^Гсхс-і. (11.1.1)
Для нахождения частот собственных колебаний воспользуемся уравнениями магнитостатики:
rotA(e)=0, div А<<?) = О,
rot h(i) = 0, div (h[i) + 4лт) = О
для переменных составляющих магнитного поля вне и внутри образца, которые мы считаем гармоническими функциями времени:
tie\r, t) = h{e)(r)e~i&t, h{i)(r, t) = h{i] (г)е~ш.
Вводя потенциалы <р(!) и ф(е), связанные с полями Л('*(г) и Л(е) (г) соотношениями
h(l) (г) = — Vq>(i) (г), h{e) (г) = — Уф(е) (г), (11.1.2) перепишем уравнения магнитостатики в виде
Дф(*> = О,
^ + ^«Ar = 0- <11Л-3>
К этим уравнениям должны быть добавлены граничные условия: непрерывность на границе образца тангенциальных составляющих магнитного поля и нормальной составляющей магнитной индукции,
hf = h[e\ hf 4nmv = hf
(индексы THV служат для обозначений тангенциальных и нормальной составляющих векторов), а также условие на бесконечности, заключающееся в том, что при гсо поле Л(<?) (г), а следовательно, и ф(е> должны обращаться в нуль,
Ф^оо = 0. (11.1.4)
*) Считая А ~ L, где L — размеры образца и со и IO1 IOn сек~1, получим отсюда IO-6 1 см.
92 / Используя (11.1.2), можно представить граничные условия в виде
(vft — проекция единичного вектора вдоль нормали на ось k).
Сформулированная таким образом граничная задача имеет нетривиальные решения не при произвольных, а только при вполне определенных значениях входящих в уравнение (11.1.3) и граничные условия (11.1.5) параметров С другой стороны, величины faj являются определенными функциями частоты, Xij- Хгу(®)- Поэтому, найдя значения параметров yaj и зная вид этих функций, можно в принципе определить соответствующие значения частот, которые и представляют собой частоты собственных колебаний плотности магнитного момента в образце. Эти частоты обычно называют частотами неоднородного резонанса.
