Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
А0 (г. o = SP(k>e,kr[E2(k' 0-Sg(-k.,0]. (4.11)
pk p
ТЕНЗОР НЕЛИНЕЙНОЙ ПОЛЯРИЗУЕМОСТИ
197
где
Ер(к. 0 = ?р(к)е-г"р(ки, о)Р =
При использовании для оператора векторного потенциала
соотно- шения (4,11) величины <р(/пя вместе с тензором е1тп
обращаются в нуль, поскольку при этом равны нулю операторы
вида [[АВ\ С], где А, В, ^ +
С-любые операторы из набора (k, t), (к, t') и т. д.
Ино.е имеет место при учете кубического энгармонизма.
Используя для оперзторэ энергии кристалла выражение (1,2),
находим, что в этом случае оператор векторного потенциала
А (г, t) = F~l(t, -oo)A°(r, t)F(t, -оо), (4,12)
где
I t
I / f I i -Ю. - -I -а<
F (t, t0) = Т exp { - jr \H(tm)(t')dt'\, H(tm)(t) = e h 0) e h,
( 1 h 1
(4,13)
тогда как оператор A°(r, t) определен выражением (4,11).
Поэтому, подставляя (4,11) в (4,12), находим, что
А(Г, о = - S^r7kTSp(k)eikrt^(k' ^ (- к' 0]. (4-14)
(r)р (к)
рк м
где
|р(к, t) = F \t, - оо)|р(к, t)F(t, - оо). (4,15)
Предполагая, что энгармонизм является слабым, в первом
приближении
t
F (t, t0) = 1 - j J Hul (t') dt'. (4,16)
tn
В соответствии с (4,13)
//111(0= S S ^(kp; k'p'; k+ k', p")(k, 0&(k'. OX
pp'p" kk'
X Ip. (k -f к', 0 + эрм. сопр. (4,17)
Следовательно, считая, что энгармонизм включается
адиэбэтически, находим
F (t, - оо) ==
. / / - .4 . Л . . Л /•. / .\
рр'р' kk'
- эрм. сопр. (4,18)
у, у, U7(kp; k'p'; k+k', р')б2(к, /) (к'. /) Ер- (к +
к', t)
¦ ¦ *p(k) + v(k')-V(k+k')
jgg НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ [ГЛ. V
Подстановка (4,18) в (4,15) приводит для операторов ?р (k,
t) к следующему выражению:
|р(к, 0 = 12 (к, о -
SW (к,р,; к -к" р2; кр) ,, .
0,0,К. (к° + ^ (к " к° ~ (к) '
+ S ¦"" О- С'1")
р,р2к,
Соотношения (4,14) и (4,19) позволяют определить фурье-
компо- ненту функции фигурирующую в выражении для тензора
нели
нейной поляризуемости (4,10). Подставляя (4,14) в (4,8а),
находим
Фгш"(Г - г'. t-f\ г'-г", =
_ _ V V сз °р,(к^рЛк^рДкз)
" ^ иГ/ Р,Л,;Р2 2:РЗ Д Х
Р1Р2Р3 К1К2К3
Хехр {/(k^j Н-к2г2 4- к3г3)}, (4,20)
•^Piki: Р2к2; Рзк3 if t , t t'r) =
= -i-e(f--Г)<[[1р,(М1р2(к2О]|0з(кзО]>, (4,21)
где
lp(к, t) = lp(k, 0-lp(-k. t). (4,22)
Использование выражения (4,19) позволяет для фурье-
компоненты величины (4,21), определяемой соотношением
A(t - t', t' - t")= J tfco da' A (co, a')(''-П,
получить следующее выражение:
б
Дэ.к,; р2к2; р3к3 (СО, О)') - - (2;rt)2 ^ + ^2 + к3)
^ Aojk,; р2к2; р3ка (о), СО ).
(4,23)
где
А('> I
^Р,к,; р2к2; р3кэ (0)> 0) ) ¦
_____ 21^ (-кзрэ; -кгРг! kiPi)
~ 1^(r) -*р,(-к2) -5Гй(-кз)][Йш -^(кОЦйа)'-{?ft(-к3)] '
¦^р.кь р2к2; р3к3 (со, 0)0 =
2Ц?~ (-к3р3; -^iPi>
к2Рг)
Iй(r) + V, (к2) " Яр, (- Ч] lhw + V (- kl)] №' - *0. (- кз)] *
.(3) / /ч
Pikjj р2к2; р3к3 (СО, СО ) -
21^ (-kjpjj - к2Рг" кзРз) __
[ftО - ЙР2 (- к2) + (к3)] [АО + *Р1 (- к!)] [&у + <?РЗ (к3)]
% 4] ТЕНЗОР НЕЛИНЕЙНОЙ ПОЛЯРИЗУЕМОСТИ 199
(4) г
^р,к,; р2к2; р3к3 (СО, СО ) =
2W (к^,; к2р2; - к3р3)
_ Iй(r) + ^Р2 (к2) - -Рз (- кз)1 Iй(r) - *Pl (kl)] lha>' - (~ k3)]
'
,(5) /
^Pikj; р2к2; р3ка (0), (D ) -
2Iff (кэр3; k|pt; -к2р2)
- [&0 + ^Рз (кз) - Sp, (- к2)] [fiffl - *Р| (ki)] [й(r)' + ^Рз
(кз)1 '
¦^Pik,; р2к2; psks (со, СО ) =
2В-7 (к3р3; к2Рг! -к^,) ,.
[to + gp3 (к3) + йр2 (к2)] [to + sPi (- к:)] [to' + 5?Рз (к3)]
Таким образом*),
Ф1тп(ак, со'к') =
у SP. (к) (к/~к) $?(-к/) у .((> ,
- (2л)8 ^ (В (к)щ (к' -к)<а0 (-к') р'к; Р=к'-к; рэ-кЧ(r). со
РйРз ,3 i=i
(4,25)
Подставляя (4,25) в (4,10), окончательно находим em(cok,
со'к', со"к") =
v v У(ик) 5Р. (к) ("V) 5рга (~ к0
у у -У ор| W ixmq щ к ; г>р; у- к >
'со" ^ <в. (к) а. (-к')ю" (-к") ^
(4я)2 шш'м" 4U -I <вр (к)<а (- к')ш (- к")
р,р2р, (-1
X А"г(о"к")5рл,(-к")Л^1( _к,Р2, _к.рз(со, со - а'). (4,26)
со" = со - со', к" = к - к'.
Это соотношение определяет тензор нелинейной поляризуемости
при произвольных со, со' и к, к'.
Напомним, что при вычислении тензора zpqT определялся
нелинейный отклик кристалла на электрическое поле, создаваемое
внешними классическими токами. Поэтому приведенный выше вывод
выражения для Epqr фактически является полуклассическим. Его
особенность состоит лишь в том, что при вычислении нелинейного
отклика в кристалле принималось во внимание не только
мгновенное, но также и запаздывающее взаимодействие между
зарядами, существенно влияющее на спектр нормальных волн в
кристалле при малых к.
Перейдем теперь к обсуждению выражения (4,26). Отметим
прежде всего, что амплитуды напряженности электрического поля
в нормальной волне р, к, фигурирующие в выражении (4,26),
могут быть найдены с помощью формулы (2,27) гл. III. Однако в
случае, например, кубического кристалла указанные амплитуды
более просто можно найти, используя выражение для плотности
энергии электромагнитного поля.
*) В формуле (4,25) и ниже V - объем цикличности.
200
НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
[ГЛ. V
В диспергирующей среде плотность этой энергии (см. [26], § 3)
Й(r) _ 1 Г д [соеij (а)]
