Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
действию в кристалле нормальных электромагнитных волн друг с
другом. К тому же эффекту в рамках микротеории приводят члены
ангар- монизма, присутствующие в гамильтониане кристалла [см.,
например, (1,2)]. Ясно поэтому, что между тензорами нелинейной
поляризуемости, фигурирующими в (4,1), и упомянутыми выше
коэффициентами ангар- монизма должна существовать
непосредственная связь, так что тензор егуг должен определяться
кубическим энгармонизмом, тензор е^ш - энгармонизмом четвертого
порядкэ и т. д. В этом параграфе при рассмотрении нелинейной
поляризуемости мы ограничимся вычислением тензора ег;-г,
поскольку вычисление тензоров Е^Ш и т. д. может быть
осуществлено эналогичным обрэзом.
В § 1 гл. IV было показано, что тензор егу (со, к)
определяется функцией Гринз Di;(R, т), что нашло свое выражение
в соотношении (1,27) гл. IV. Для тензорз е(-;-г, кзк это было
покззано в [21], тзкже может быть получено подобное
соотношение **). Действительно, используя соотношение (4,1) и
полагая, что плотность внешних ззря- дов рзвнз нулю, однзко j t
Ф 0, нзходим, что урзвнения Мзксвеллз
*) Отметим, однако, что в импульсных лазерах Е достигает
значения ~ ?0. В этих случаях рассмотрение нелинейных
оптических процессов, основанное на использовании разложения
(4,1), не применимо и должен быть использован иной подход (см.
[24] ).
**) Аналогичное рассмотрение независимо было проведено
Обуховским и Стрижевским [28].
ТЕНЗОР НЕЛИНЕЙНОЙ ПОЛЯРИЗУЕМОСТИ
195
для немагнитной среды [вместо (1,6) гл. IV] приводят к
уравнению \k2bu - ktkj - ~ ги (со, k)] Ej (со, к) -
- J в1}1 (ксо, kV, к"со") Ej (со7, к7) Ег (к", со") 6 (со - со7
- со77) X X 6 (к - к7 - к77) diо7 da" dk' dk" = i ^ <oyext (со,
к). (4,2)
Если теперь, используя метод итераций, представить решение
этого уравнения в виде разложения в ряд по степеням j . (со,
к), то напряженность электрического поля, индуцированного
внешними токами, может быть представлена в следующем виде:
Е (со, к) = Е(|) (со, к) -f Е(2) (со, к) -4 . . ., (4,3)
где линейное по j слагаемое, т. е. Е^^со, к), дано соотноше-
нием (1,7) гл. IV, тогда как
Е% (со, k) = (i|^j2 д4 (a, k) J в1и, (сок, со7к7, со77к77)Х
X wV'ATj^co', к') АТ]2(со", к") jext> (со', к") jext ь(со", к")
X
X 6 (со - со7 - со77) б (к - к7 - к77) dk' dk" rfco7 rfco77.
(4,4)
Переход к калибровке с равным нулю скалярным потенциалом
позволяет с помощью соотношений (4,3) и (4,4), а также (1,9)
гл. IV найти векторный потенциал, представленный в виде
разложения по степеням j Выражение для квадратичной по jext
части этого потенциала имеет вид
лГЧсо, k) = A J 7^ (сок, со7к7, co77k77)yext,>7. k')/cxt, ЯС<0-
к77)Х X & (к - к7 - к'7) б (со - со' - со'7) rfk7 rfk77 rfco7
rfco77, (4,5)
где использовано обозначение
/ it" t'\ /4я \ 3 / " - 1 / / / " "\
Т1тп (сок, со к , со к ) = I -) coco со А/р (со, к) грдг (сок, со
к , со к ) X
ХА^Дсо', к') А,-/(со", u-_k_k- (4.6)
где
Ар; (со, к) = k2dpl - kpkt - spl (со, к). (4,7)
Соотношение (4,6) можно переписать следующим образом:
. , , " " ( с2 \3 АР1 ((r), к) Дт<7 (и', к') !\пт
(со", к")
еи,(<ок. сок7, (r)7к 7)==(-j X
X тшп((r)к. "'к', 0)77к77)к..к_к,. (4,6а)
13*
196
НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
[ГЛ. V
Векторный потенциал поля, индуцированного внешними источни-
ками, может быть найден также с помощью соотношения (1,15) гл.
IV. Разлагая правую часть этого соотношения в ряд по степеням
j t, для квадратичного по j слагаемого (4,5) находим
+ СО +СО
Л2)(г, t) = ~ j dr' | dr" | dt' | dt"X
- CO - CO
Хф4ш,(Г- r'. t - t'\ r'-r", t'-t")Jextim(r', O/ext, "(Г"> f,)>
(4-8)
где
Ф;"л (r ~ r', t-t'; r'-r", f-f) =
= -р-в(*-*')0(*,-*")<[Й,(г. t)Am{r', t')\ An (r", f)]).
(4,8a)
Здесь [AB] означает коммутатор операторов А и В, а (...)-знак
статистического усреднения.
Если в соотношении (4,8) перейти к представлению Фурье и
сравнить результат этого перехода с формулой (4,5), то для
величины Т[тп(ак, со'к', со"к") получаем:
ТШп(сок, о/к', 09"к") к._к_к, =ф1ив (сок; со-со', к-к').
(4,9)
Поэтому [см. (4,6а)] при со" = со-со', к" = к- к' zpqr (сок,
со'к', со"к") =
к -к').
(4,10)
Соотношение (4,10) выражает рассматриваемый тензор
нелинейной поляризуемости через тензор ei;- и фурье-компоненту
двухвременной причинной функции Грина ц>1тп [см. (4,8а)].
Аналогичные выражения могут быть получены и для нелинейных
поляризуемостей более высокого порядка. Вычисление функций
q>tmn может быть проведено лишь с использованием какой-либо
модели кристалла. Ниже, как и в [21], ограничимся вычислением
<ptmn для кристаллов в экситонной области спектра.
Если в экситонной области спектра кристалла не принимать во
внимание энгармонизм, т. е. для оператора его энергии
использовать выражение (2,1) гл. IV, то оператор напряженности
электрического поля будет иметь вид, определяемый соотношением
(2,2) гл. 111. Тогда, в используемой здесь калибровке,
оператор векторного потенциала определяется соотношением
