Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4 гл. III, вместо тензора е^(<о, к) может быть использован
тензор (со, к). Этот тензор
выражает индукцию 3) через поперечную часть макроскопического
поля Е, т. е. через Е1 [см. также соотношение (4,17) гл. III];
31 (со, к) = е[ (со, к)?^((c), к). (1,4)
Линейность этой связи позволяет сделать вывод о том, что
тензор tj (со, к) можно найти путем вычисления поляризации Р,
создаваемой в кристалле лишь поперечным полем Е^. В этом
случае в качестве состояний нулевого приближения могут быть
использованы состояния, которые возникают при исключении не
всего макроскопического поля, а лишь его поперечной части.
Если же пренебречь
138 ТЕНЗОР ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. IV
локальной частью поперечного поля*), то после исключения
оставшиеся уравнения движения суть не что иное, как уравнения
движения, отвечающие задаче при полном учете мгновенного
кулонов- ского взаимодействия. Следовательно, если состояния
нулевого приближения, получающиеся при полном учете
кулоновского взаимодействия, в каком-либо приближении могут
считаться известными, то, рассматривая поле Е-1- как
возмущение, можно найти поляризацию
ЯД со, к) = (". k)?j(co, к), (1,5)
а затем и тензор е .. (со, к) (Пекар [3]).
_]_> 11
Таким образом, эта процедура расчета .. (со, к) (более
подробно см. § 3) не требует выделения макроскопической части
продольного поля, однако она приводит не к тензору е;Дсо, к),
который связывает $t> и Е для произвольных полей Е, а к
тензору ; (со, к), который связывает эти величины лишь при div
3) = 0. Кроме того, такой метод расчета .j (со, к), равно как
и описанный ранее метод расчета тензора егДсо, к), не позволяет
учесть длинноволновое поглощение, о котором будет идти, речь в
§ 3 этой главы, возникающее при более корректном учете
запаздывающего взаимодействия.
В связи с этим ниже рассматривается иной метод расчета. Он
допускает последовательный учет длинноволнового поглощения,
хотя и использует решения полной кулоновской задачи (т. е. не
требует выделения макроскопической части продольного поля и
позволяет, в то же время, найти сразу тензор Ец (со, к)). Этот
метод основан на использовании результатов теории, изложенной
в предыдущих параграфах, а также на использовании некоторых
соотношений, установленных в теории функций Грина. Поэтому
приведем сначала вывод этих соотношений, тогда как явное
выражение для интересующего нас тензора е(Дсо, к), справедливое
в экситонной области спектра, будет получено в следующем
параграфе.
Итак, рассмотрим среду (кристалл), в которой плотность
внешних зарядов равна нулю, а плотность внешних токов j (г, t)
Ф 0. В этом случае уравнение для поля Е (со, к) имеет вид
|й26и - ktkj - ~ (со, к)] Е} (со, к) = / сo/ext . (со, к),
(1,6) так что
Et (со, к) = / соАГ1 (со, к) ,/ext> " (со, к), (1,7)
*) Можно показать, что учет этого поля приводит для энергии
экситона к малым поправкам порядка (а/Я)2. где а - постоянная
решетки, Я - длина волны.
§ 11 МЕТОДЫ РАСЧЁТА e{j(a, к) 139
где
Aij(a, к) = k26u - ktkj - в, к). (1,8)
Если воспользоваться калибровкой с равным нулю скалярным
потенциалом, то
Е"'(г. ') = -7<'Л'^(Г'1>. (1,9)
где Aext - векторный потенциал, и тогда вместо (1,7) получаем
лГ(о, k) = i?-Ar"V k) yext, " (со, к). (1,10)
Это соотношение определяет векторный потенциал в среде,
создаваемый внешними токами. С другой стороны, этот же
потенциал равен среднему значению оператора
Aext (г, *) = Д(Й+/?ех0< А(т)е~Ъ(Й+Йех0', (1,11)
где Н - полный гамильтониан среды, включающий и поле излучения
¦при отсутствии внешних токов и зарядов, а
?ext=-4-{ jext(r, 0 А (Г. t)dr. (1,12)
Полагая, что 7ext(^-> - со)-*0, представим оператор
ехр| --|-(Я + ЯехО|
в виде
expj- (Я + #ext) | - е * **SeyA(t), 1,13)
где (см. [5], гл. II)
\ if- 1 5ext(0 = 7,exp| - -g J Wext(O^J- (1.14)
Здесь T - знак хронологического произведения. Следовательно,
среднее значение оператора вектор-потенциала в присутствии
внешних
токов принимает вид *)
(Aext(r, 0> = <Se"xt(f)A(r. f)S"t(*)>. (1.15)
•) Знак (с) означает усреднение по Гиббсу:
<?> = SP{/^S}, где F - свободная энергия системы, Т - ее
температура.
140 ТЕНЗОР ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ КРИСТАЛЛОВ [ГЛ. IV
где А (г, t) - оператор векторного потенциала в среде при
отсутствии внешних токов и зарядов.
Разлагая (1,15) в ряд по jext и удерживая только члены
первого порядка, получаем
t
{AT {г, o) = -^L J dt' JrfrVext ,(r'. OX
- CO
X ({Л(г\ t')An{r, t)-An{r, t)Ak(r', *')}>¦ (1.16)
Для пространственно однородной среды, находящейся в стацио-
нарных внешних условиях, функция
- ±({An(r, t)Ak( г', t')-Ak{ г'. О А, (г. *)}>=*"* (r-r',f-0.
(Ы7)
т. е. зависит только от разностей г-г' и t - t'. Поэтому,
переходя в (1,16) к фурье-компонентам, находим
'С (и. к) = - 7-1|>тл(ю. k)ycxt>"((D. к), (1,18)
где
оо
фтл(га, к) = J dx\ ^Re-'(kK-mt4m"(R, х) =
о
Ч-со
ss J dx J dRe~i (кК~шг) tymn (R, т) 0 (т). (1,19)
- СО
