Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
этой главы без использования феноменологических уравнений поля
и тензора диэлектрической проницаемости.
В заключение этого параграфа мы рассмотрим вопрос о связи,
которая имеет место между тензором диэлектрической
проницаемости
*) Тензор ?j^ в оптике кристаллов впервые был использован
Пе- каром [17].
APiP 1
**) Если, например, е,-;- = б(-;- = то использование
формулы
(0 (Од
(4,18) приводит к соотношению
Ap-t р,
124
ЭКСИТОНЫ ПРИ УЧЕТЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ
(ГЛ. иг
и энергиями кулоновских экситонов, т. е. экситонов, которые
отвечают неучету запаздывающего взаимодействия между зарядами.
Для молекулярных кристаллов кулоновские экситоны
рассматривались в гл. I и II.
Ясно, что факт такой связи не является сколько-нибудь неожи-
данным, поскольку тензор егДсо, к) определяет частоты
нормальных электромагнитных волн, как мы видели, и в более
общем случае, а именно при учете запаздывания. В то же время
использование этой связи позволяет очень просто рассмотреть
некоторые свойства кулоновских экситонов (например,
зависимость энергии кулоновского экситона от s при к -> 0),
которые при использовании микротеории требуют более или менее
сложных расчетов.
При неучете запаздывания в уравнениях (4,1) следует опустить
члены с производными по времени, поскольку именно эти
слагаемые исчезают при с->со. В этом случае при jext = Pext = 0,
т. е. для нормальных волн, уравнения для электрического поля
принимают вид
rot Е - 0, div(r)=0,
что для плоских волн дает
[sE (со, к)] = О, (S0K<B, к)) = 0. (4,21)
Первое из этих уравнений говорит о том, что при неучете за-
паздывания электрическое поле в нормальных волнах либо
продольно, либо равно нулю. Используя теперь связь (4,7) и
второе из уравнений (4,21), находим, что для таких волн (E=s?)
(SiSjBtj (и, k)) Е = 0
и при Еф0
k) = 0. (4,22)
Это соотношение позволяет выразить частоты ю (или энергии
Асо) кулоновских экситонов с Е=?0 как функции к, а при >0^как
функции s = kjk.
С целью проиллюстрировать соотношение (4,22) рассмотрим
окрестность невырожденного линейно поляризованного дипольно-
раз- решенного перехода в одноосном кристалле. При неучете
пространственной дисперсии в окрестности этого перехода тензор
e/;(co) имеет следующие отличные от нуля компоненты (ось z
предполагается направленной вдоль оптической оси):
А1>
е11 - е22= е0' е33 -е0 2 Т ' (4,23)
ш - (r)ц
где величину е0 в рассматриваемой области частот можно считать
не зависящей от со, - частота резонанса, ЛИ-величина, пропор-
циональная силе осциллятора перехода. В соотношениях (4,23)
учтено
§ 4] ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЙ ПОДХОД В ТЕОРИИ ЭКСИТОНОВ 125
также, что в случае невырожденного дипольно-разрешенного
перехода переход этот может быть поляризован только вдоль
оптической оси.
Подставляя (4,23) в (4,22), находим, что искомая энергия
кулоновского экситона определяется соотношением
1 ЬД'1
Ец( O) = A(a~Ao(1 + -i-^-cos2 0, (4,24)
где 0 - угол между оптической осью и вектором s. Аналогичным
образом можно рассмотреть зависимость от s при к->0 энергии
кулоновских экситонов с Е^О в кристаллах других симметрий.
Если в нормальной волне электрическое поле Е =0, вместо
(4.22) следует использовать соотношение, которое
непосредственно следует из связи (4,7а). Поскольку, несмотря
на то, что Е == 0, вектор 3) предполагается отличным от нуля,
детерминант системы уравнений
егШ. = 0 (4,25)
IJ }
должен обращаться в нуль. Поэтому закон дисперсии, т. е. зави-
симость со = со (к), для кулоновских экситонов с Е=0 при 3>ф 0
определяется уравнением
(е-Ч(о, к) | = 0. (4,26)
Уравнение (4,26), вообще говоря, может иметь при заданном к
несколько корней. Среди них принимать во внимание следует
только такие, которым отвечают векторы 3), удовлетворяющие,
наряду с системой уравнений (4,25), также условию поперечности
(3>к) = 0. ' (4,27)
Это обстоятельство весьма существенно, поскольку (4,27)
является одним из уравнений поля.
Рассмотрим опять в качестве примера кристалл с тензором ди-
электрической проницаемости, который определяется
соотношениями
(4.23). Легко видеть, что в этом случае уравнение (4,26)
имеет вид
7- = 0, (4,28)
ь33
чему отвечают решения уравнения (4,25) для 3) с ^=.2^=0, З3ф0-
Поэтому, если вектор к не перпендикулярен оптической оси,
решений с Е = 0 и 35ф0 не существует [не выполняется (4,27)].
Если же вектор s перпендикулярен оптической оси, то такое
решение имеется, причем для него, как это видно из (4,28) и
(4,23), со = ю^.
Этот же результат следует также из (4,24) при 0->я/2.
126
ЭКСИТОНЫ ПРИ УЧЕТЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ
[ГЛ. III
В окрестности разрешенного перехода, поляризованного
перпендикулярно оптической оси, вместо (4,23) имеем
A L
еп (а) = е22 (а) = е0 2 5-, е33(со) = е0. (4,29)
ш -о-
В этом случае уравнение (4,22) для экситонов с ЕфО дает
с /п\ t t 1 1 hA I sin2 9 ,,
5*(°> = Аю^Н + 2-4-' ¦ (4i30)
В то же время для экситонов с Е = 0 уравнения (4,26) и (4,25)
дают
