Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
(одной или двух соответственно), что приводит к ряду
интересных особенностей (см. [13, 15], а также § 5).
В заключение этого параграфа отметим, что при наличии даже
достаточно широких экситонных зон, когда волновой вектор
является "хорошим" квантовым числом, однако при малых силах
осциллятора,
*) Рассматриваемая ситуация вполне аналогична той, которая
имеет место при обсуждении вопроса о роли, например,
"перестановочного вырождения" тождественных частиц. Если
обменная энергия, связанная с этим вырождением, мала по
сравнению с обычной кулоновской энергией, это вырождение в
первом приближении можно не учитывать.
§ 4] ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЙ ПОДХОД В ТЕОРИИ ЭКСИТОНОВ 119
в условиях, когда уширение экситонных уровней при малых к, вы-
званное, например, экситон-фононным взаимодействием, превышает
величину расщепления энергий поляритона, вызванного экситон-
фотон- ным взаимодействием *), это расщепление, как и вообще
влияние запаздывания на форму спектра возбуждений, можно не
принимать во внимание. В этом случае в качестве элементарных
возбуждений в экситонной области спектра можно использовать не
поляритоны, а кулоновские экситоны и поперечные фотоны,
рассматривая запаздывание лишь как причину, приводящую к
переходам между состояниями нулевого приближения.
§ 4. Тензор диэлектрической проницаемости и феноменологическое
рассмотрение длинноволновых экситонов
в кристаллах **)
Рассмотрение экситонов с учетом запаздывания, изложенное в
предыдущих параграфах этой главы, было основано на
использовании гамильтониана (1,2), (1,4). Этот гамильтониан
(см. [1]) отвечает микроскопическим уравнениям Максвелла. В то
же время априори ясно, что если нас интересуют
электромагнитные волны с большой длиной волны в кристалле, то
их исследование может быть также проведено, как это обычно и
делается [12], в рамках уравнений макроскопической
электродинамики.
Если ограничиться случаем немагнитной среды и не делать раз-
личия между индукцией магнитного поля В и его напряженностью
зе. то эти уравнения можно записать в следующем виде:
, ав 1 д(r) . 4я . , _ 1 <?В
T0tM = 1-ir + - JeXf rot Е = - , (4Л)
div 3> = 4npext, divg? = 0.
Здесь и Е - индукция и напряженность электрического поля,
j t и pext - плотность тока и заряда внешних источников.
Система уравнений (4,1) является, как известно, полной
только тогда, когда указано так называемое материальное
уравнение, позволяющее выразить Э) через Е. В линейном
приближении соотношение между 3) и Е можно представить
следующим образом: t
3>i(г, t)= | dt' j dr'e^-ir, r\ t, t')Ej(r', tf). (4,2)
*) Из (2,18a) следует, что величина этого расщепления при к
- Q0/c равна и0 У 3F (ради простоты полагаем е0 = 1). Поэтому
введение поляри- тонов не оправдано, если со0 <; 6, где 6 -
частота столкновений длинноволнового экситона с фононами.
**) Более подробно эти вопросы освещены в [14], где указана
также дополнительная литература.
120 ЭКСИТОНЫ ПРИ УЧЕТЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ [ГЛ. III
Все свойства среды определены ядром интегрального соотношения
(4,2). В вакууме, например,
ги(г, г', t, t') = bljb(T - r')b(t - t/) и 0 = Е. (4,3)
В случае же конденсированной среды вектор индукции
(r)! = Е + 4лР, (4,4)
где Р - поляризация единицы объема, создаваемая в кристалле
полями Е и
В соотношении (4,2) принят во внимание принцип причинности,
в силу которого индукция в момент времени t определяется
только полем в прошлом и настоящем, т. е. при t' <^t.
Если, кроме того, система находится в стационарном состоянии
и ее свойства, следовательно, неизменны во времени, то ядро ец
может зависеть лишь от разности t - t'. Если же наряду с
указанной однородностью во времени среда также может считаться
однородной в пространстве (т. е. инвариантной относительно
операции сдвига на произвольный вектор), то зависит только от
разности г - г'.
В этих условиях
t
?>i(г, t)= | dt' J fi?r'e^(r - r', t - t')Ej(r', t'), (4,5)
- CO
и для полей, которые имеют характер плоских воли, т. е. для
полей вида
Е (г, t) = Е (со, k)el(kT~at\
?)(r, t) = &)(">, к) е1 (кг-"0) (4,6)
имеем
к) = ?гj (со, к)Е,-(ю, к), (4,7)
где
СО
ei;-(co, к)= J/fr J fi?Re_i(kR~(Bt)eiy(R, т). (4,8)
о
Иногда вместо тензора е/;(со, к) более удобно использовать
тен-
- 1
зор, ему обратный, т. е. тензор е.г-;- (ю, к). В этом случае,
очевидно,
Ei (со. к) = егГ/(со, k)3)j((r), к). (4,7а)
Величина ег;-(со, к) называется тензором комплексной
диэлектрической проницаемости. Этот тензор в рамках
феноменологической теории предполагается известным.
§ 4] ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЙ ПОДХОД В ТЕОРИИ ЭКСИТОНОВ 121
Из соотношений (4,5) и (4,8) легко усмотреть, что
зависимость тензора ei;-(co, к) от к (эту зависимость называют
пространственной дисперсией; более подробно см. [14]) связана
с тем, что индукция в точке г определяется значением
напряженности электрического поля не только в точке г, но и в
некоторой ее окрестности. Таким образом, пространственная
