Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
что
V-kj (р) = + ) "к;(р),
§ В. М. Агранович
114 ЭКСИТОНЫ ПРИ УЧЕТЕ
ЗАПАЗДЫВАНИЯ [ГЛ. III
где "p = Mc/cfp(k). Поэтому на основе первого из уравнений си-
стемы (2,3), если учесть равенство Т (2, к) = 0, находим
(лр + 1)[Е(к)-*р(к)] /ч /о10<ч
"ы(р) = gТ (1, к) пр ИМ(Р). (2,186)
Это соотношение вместе с условием нормировки (2,3а) позволяет
найти абсолютные значения величин aki (р) и "kfi(p). При этом,
используя условия нормировки (2,3а), надо иметь в виду, что,
как следует из (2,3), для поляризации j = 2 величины ukj (р) =
vkj (р) = О, если только поляритонное состояние р, как это и
предполагается, возникло в результате "смешивания" экситонного
состояния и состояния поперечного фотона с поляризацией у-1
[только при j = 1 величина Т (у, к) ф 0].
Пренебрегая величинами |(c)кц(р)| по сравнению с |"иц(р)|>
окончательно находим
Г ^p(k)[?(k)-?p(k)]2 у1
В рассматриваемом случае невырожденной экситонной зоны закон
дисперсии поляритонов, возникших при смешивании состояний
фотонов с у = 1 и состояний экситонов, определяется первым из
уравнений (2,16), где й(к) = E(k)jh, ef = hco. Разрешая это
уравнение относительно с?2 (к), находим *)
Е2 (к) /iW + 3.fi2G^Sin2cp
Г1.2 (к) = 2 I 2е] ±
±т/
Ь с к -)- 3h a>0F sin ф
(к) Н
4с2й2?2 (к) Ь2
(2,18в)
Схематически эта зависимость представлена на рис. 9. На нижней
ветви (p = pj) с ростом Jk| величина энергии ofp(к) ->Е(к). При
этом
MPi)^1' V(pi)^0' w*;(Pi)' %(Pi)->0-
Поскольку в то же время efP2 (к) -> hkcjz1, имеет место
MkM(P2)"^'0- (r)k(i (Рг)-> 0- Таким образом, в силу (2,2) оператор
B(l(k)->|p (к), т. е. рождение или уничтожение поляритона (рхк)
фактически означает в этой области спектра рождение или
уничтожение кулоновского экситона с волновым вектором к.
Аналогично можно убедиться в том, что с ростом | к | величина
| ик1 (р2) | -> 1, так что при этом оператор "к1->iPa(k). В этой
области
*) Из (2,186) следует, что расщепление энергий g,-g2 зависит
от направления к и исчезает при <р = 0, т. е. когда вектор к
направлен параллельно вектору р°Л
4 2] ДИСПЕРСИЯ НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН 115
спектра состояния поляритонов р2 по своей природе мало
отличаются от состояний поперечных фотонов (закон дисперсии
для этих фотонов имеет вид сfp2=.fi&c/e1, где величина
фигурирующая в (2,16), учитывает вклад в дисперсию удаленных
резонансов). В той же области спектра, где ^^^(к),
поляритонные состояния не сводятся ни к кулоновским экситонам,
ни к поперечным фотонам.
Как мы в дальнейшем увидим, это обстоятельство оказывается
существенным при анализе формы длинноволнового края экситонных
полос поглощения, в теории нелинейных оптических эффектов, в
ряде вопросов кинетики экситонов при достаточно низких
температурах и т. д.
В заключение этого параграфа дадим вывод формулы для операто-
ров напряженности электрического и магнитного поля в
кристалле, выразив их через бозе-амплитуды
и Ь ¦
ВР =р
При использовании кулоновской калибровки векторного потенциала
оператор напряженности электрического поля
Ё (г) = Ё1 (г) -f- Ё 1 (г), (2,19)
где Ё^ и Ё!|-операторы соленоидальной и безвихревой частей на-
пряженности электрического поля. Первый из этих операторов
е'М = -7 W "-7^("А-АЯ). (2,20)
Фигурирующий в (2,20) гамильтониан кристалла при учете как
куло- новского, так и запаздывающего взаимодействий
определяется в переменных и 4+ соотношением (2,36). Что же
касается оператора
А (г), то для него, используя (1,5) и (2,2), находим
S (wr^I^P)^ ^/(ШрМ^ + эрм. сопр. (2,21) к у, р
Подставляя теперь выражения (2,36) и (2,21) в (2,20) и
принимая во внимание известные соотношения коммутации для
бозе-амплитуд ?р и ?+, получаем для Ё^ следующее выражение:
Ё1(г) = -^ 2 (у^)/2^'р(к)1к;[Ик;(Р)Ч-^к/(р)]4р(к)ег'кгН-эрм.сопр.
к Л Р
(2,22)
8*
116 ЭКСИТОНЫ ПРИ УЧЕТЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ [ГЛ. III
При рассмотрении оператора Е11 (г), принимая во внимание
оптическую область спектра, ограничимся случаем длинноволновой
части продольного поля, для которой могут быть использованы
некоторые известные соотношения феноменологической теории. В
частности, в силу соленоидального характера вектора индукции
(div D =0) для плоских волн kD (со, к) = 0. Поскольку,
с другой стороны, D = Е +
-f- 4яР (см. также § 4 этой главы), находим, что
безвихревые части
Е! и Р связаны соотношением
Ё"= - 4лР", (2,23)
где Р - вектор поляризации единицы объема.
Этот оператор в, экситонной области спектра может быть пред-
ставлен следующим выражением *):
Р(г)=2Р(к' МО В (к) е'кт эрм. сопр., (2,24)
ц, к
где Р (к, [х) - амплитуда матричного элемента перехода из
основного
состояния в состояние с кулоновским экситоном (к[г) для
оператора
дипольного момента единицы объема.
Используя теперь (2,23) и (2,24), находим
Ёп (г) = - 4я к -- 5(г(к)егкг + эрм. сопр..
ц, к
и, следовательно, в переменных |р и |р [см. (2,2)]
Ё11 (г) = -4п V к ["кд (р) + 'Укц (р)] Ер (Ю е'кг +эрм. сопр.
и,к,Р (2,2$)
Таким образом, для полного поля Е(г) в соответствии с
