Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. III
Поэтому система уравнений (2,3) после исключения с помощью
соотношений (2,4) величин v может быть преобразована:
Для продольных экситонов [Х = м-ц в силу (1,10а) величины
T(J, k, ц||) = 0. Следовательно, эти экситоны не
взаимодействуют с поперечными фотонами и учет запаздывания для
них несуществен. Уравнения (2,3) и (2,3а) позволяют сделать
вывод о том, что для продольных экситонов *)
Рассмотрим теперь такие экситоны с учетом запаздывания, для
которых соотношение (2,6) не выполняется. В этом случае,
выражая величины йк(1 через ик;- с помощью первого из уравнений
(2,5) и подставляя полученное выражение во второе уравнение
(2,5), получаем однородную систему линейных уравнений для
величин ик;-, j = 1, 2. Эти уравнения имеют следующий вид:
Приравнивая нулю детерминант этой системы уравнений, получаем
уравнение для определения значений энергии элементарных
возбуждений всей системы (электроны плюс поле) с учетом
запаздывания. Это уравнение для величин ef (к) имеет следующий
вид:
В уравнении (2,8), в соответствии с его выводом, волновой
вектор к предполагается вещественным. Поэтому уравнение (2,8)
для величин §=р(к) приводит к спектру, состоящему, вообще
говоря, из разре
*) Аналогичные соотношения имеют место всегда, если только Т
(/', к, [а) = 0. При к = 0 имеем Т (у, 0, ц) = 0, если
экситонная зона ц не может быть возбуждена светом в дипольном
приближении (т. е. если матричный элемент (01 Р ) Oji) = 0).
(2,5)
(2,6)
(Р) = ukj (Р) = Vk j (Р) = °-
где
(2,7а)
(2,7)
(hW _J_ /j2(02 _ CP2J2 _|_ ^2А2С3 Л2Ю2 _ ^ ^ +
+ АпА22 - А12А21 = 0. (2,8)
5 2]
ДИСПЕРСИЯ НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН
109
шенных и запрещенных зон энергии ef *). Можно, однако,
поступить иначе и выразить как функцию частоты со = ef//i
коэффициент преломления волн /г (со, s), определяемый
соотношением
к - - п (со, s) s,
S = J-
(2,9)
Ясно, что зависимости ^р(к) и п(со, s) эквивалентны.
В дальнейшем будет рассмотрена величина п (со, s), поскольку
именно она обычно является предметом экспериментальных
исследований.
Используя уравнение (2,8), а также определение, (2,9),
находим
"2 (со, s) = 1
2
Ь со0
¦22
А,
¦А,
+ 4
А
12
. (2,10)
В выражении (2,10) слагаемые порядка W 2 тождественно аннули-
руются. Действительно, так как
1
1
Г
то в соответствии с (1,10а) имеет место соотношение
W Ajj' =
= 8л (v) S Ev (k) I Р (k' I2 C0S Фу (^k) C0S Фу' (flk) - g2_,1?2 (k)j >
*(2,11)
где ф;-(ц, k) - угол, образованный векторами P(|i, к) и lky.
Используя теперь правило сумм (6,10) гл. II, которое в
рассматриваемом случае негиротропных кристаллов имеет вид
2 ^^ МI Р (k> М1) |2^osФу ([^к) cos (цк) = ~~~~ о56уу', (2,12)
где 5 - число электронов в молекуле, окончательно находим
я2 (со, s) ==. 1
SVy (k)sin Ф (И- k) +
(r)2 -(к)
V ^ (cos2 ф1 ^*0 ~ cos2 ф2 ^*0)
L 7 <02 -(1с)
_|_ 4 X - a0Fn (к) COS ф; (цк) cos ф2 (цк)
L и
fi"J- (к)
(2,13)
*) Индекс р определяет номер разрешенной зоны энергий. Число
значе- ний, которые принимает индекс р, равно сумме числа
учитываемых экситонных зон-(-два (/=1, 2 - две ветви
поперечных фотонов).
110 ЭКСИТОНЫ ПРИ УЧЕТЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ (ГЛ. III
В этом выражении ф(ц, k)sscp3([i, к) - угол между векторами к и
р (кц), причем
sin2 ф О, к) - cos2 <pj (jik) -f- cos2 ф2 (цк), n /<n
2"|Р(цк)|> c ^ n /1л Epik) (2,14)
^ц(к)- 3oSe2h2 ^(k) - jj
Согласно (2,12)
2^00=1.
n
Если частота со велика по сравнению со всеми частотами
кулоновских экситонов й (к), электроны кристалла можно считать
свободными. В этом случае, как известно (см., например, [12],
§ 59),
со i
я2 (со, s) = 1 . (2,15)
Такой же результат, как это и должно быть, следует из формулы
(2,13),
если в ней пренебречь величинами по сравнению с со и восполь-
зоваться правилом сумм (2,12).
Если в правой части уравнения (2,13) для длинных волн
(&а<С[1) пренебречь зависимостью от к (т. е. величины и F^
брать при к = 0), то соотношение (2,13) для каждой частоты со
определяет два значения коэффициента преломления: пх(со,
s)h"2(co, s). Если частота со~Й^, т. е. близка к одной из
частот кулоновской задачи, то в суммах по |i, фигурирующих в
(2,13), можно выделить резонансные слагаемые, играющие при
этом главную роль.
Рассмотрим в качестве примеров использования формулы (2,13)
некоторые частные случаи.
1. Частота со расположена в окрестности невырожденной
экситонной зоны, co~Q(k). В этом случае, используя (2,13),
находим
п\ (со, s) == (со, s) - "2 (со. s) -е"(со, s),
За IF (k) sin2 ф (s)
co2-Q2(k) ' (2,16)
где 6] и е2 в рассматриваемой области спектра слабо зависят от
частоты со.
2. Кристалл обладает кубической симметрией. В этом случае
экситонные состояния, которым отвечают отличные от нуля
значения F^ (s), ЯВЛЯЮТСЯ либо СОСТОЯНИЯМИ продольных
ЭКСИТОНОВ Р (к, || s),
либо состояниями поперечных экситонов, которым при к->0
отвечает дважды вырожденная экситонная зона,
М^'2). Р (к, м/{>) JL s, Р (к, JL s,
