Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
электромагнитное поле играет по отношению к электронам
отдельного атома роль диссипативной подсистемы. В то же время
в неограниченном кристалле, где имеет место закон сохранения
квазиимпульса, экситон способен взаимодействовать лишь с
фотонами, имеющими значение волнового вектора, равное
волновому вектору экситона **). Таким образом, в
неограниченном кристалле экситон взаимодействует не более чем
с двумя степенями свободы поперечного электромагнитного поля
(два значения поляризации), и поэтому это поле уже не играет
роли диссипативной подсистемы, а выступает как динамическая
подсистема. Взаимодействие экситонной подсистемы с этой
динамической подсистемой приводит к появлению новых
коллективных состояний, которые становятся затухающими лишь
при учете каких-либо других, например экситон-фононных,
взаимодействий.
Описанная выше ситуация не есть следствие проявления каких-
либо квантовых эффектов. Более того, в рамках классического
подхода для колебаний кристалла в инфракрасной области спектра
роль поперечного электромагнитного поля была прослежена уже
давно в работах Борна и Эвальда [2] по динамике
кристаллических решеток (см. также [3]), а также в более
позднее время в работах [4-6] в рамках полуфеноменологического
подхода. Ясно, однако, что для последовательного описания
элементарных возбуждений в кристаллах в области электронных
переходов необходима квантовая теория.
Первая попытка построения такой теории была предпринята Фано
[7]. В отличие от более ранних работ [8], в работе Фано силы
осцилляторов электромагнитных переходов не предполагались
малыми. В этой работе рассматривалась изотропная
конденсированная среда, оператор энергии для кот'орой
выбирался в виде совокупности операторов энергий гармонических
осцилляторов. Как это было показано в гл. II (см. также [9]),
такая модель для экситонной области спектра может быть строго
обоснована с помощью метода приближенного вторичного
квантования, развитого Боголюбовым [10] (см. также гл. X).
Однако в [7] кулоновское взаимодействие было учтено
*) За исключением лишь таких ситуаций, когда ширина
экситонной зоны предельно мала и следует говорить не об
экситонах, а скорее о "локализованных" возбуждениях. По этому
поводу см. ниже.
**) Учет процессов типа процесса "переброса" здесь
несуществен. О радиационной ширине экситонов в ограниченном
кристалле см. в § 3.
104
ЭКСИТОНЫ ПРИ УЧЕТЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ
[ГЛ. III
лишь приближенно (приближение "случайных фаз") *). Поэтому в
дальнейшем более последовательно этот вопрос был рассмотрен
независимо в работах Хопфилда [11] и автора [9].
В этих работах в отличие от [7] использовалась кулоновская
калибровка для векторного потенциала. Как уже указывалось
ранее, в этой калибровке полный гамильтониан Н системы зарядов
и поля может быть представлен в виде (1,2). В работе [11] при
изучении элементарных возбуждений, отвечающих оператору Н,
использовался математический аппарат, развитый в [7], оператор
Нj выбирался в виде (6,4) гл. II и был рассмотрен лишь случай
кубических кристаллов. В связи с этим в последующем изложении
мы следуем работе [9], которая была развита для кристаллов
произвольной симметрии и математический аппарат которой
позволяет (см. гл. IV, V) рассмотреть также нелинейные
оптические эффекты, обусловленные экситон-фононным, экситон-
фотонным и экситон-экситонным взаимодействием **).
Рассмотрим более подробно оператор взаимодействия электронов
с полем поперечных фотонов, представленный выражением (1,4).
Фигурирующий в этом выражении радиус-вектор v-ro электрона
молекулы па определяется соотношением
Р(Г) = Гпа + К,,п а, (1.6)
где р' па - радиус-вектор, определяющий положение v-ro
электрона относительно узла кристаллической решетки (па). В
дальнейшем будет показано, что с экситонами заметно
взаимодействуют лишь длинноволновые фотоны, для которых ka<<^
1, где а - постоянная решетки кристалла. Поэтому векторный
потенциал А(р""), в соответствии с (1,5), можно представить в
виде
А(р"")= ^ ('^~)V2lk^ak^1 +/kPv,naykri,a + 9pM. сопр.].
к, у -1,2
(1,7)
Подставляя (1,7) в (1,4) и обозначая первое слагаемое в (1,4)
через //вз. находим
H(ll= - J] (-^)1/2[аку1к/П(к) + эрм. сопр.], (1,8) к, / = 1,2
*) В рамках классического подхода точный учет кулоновского
взаимодействия был выполнен в [21]. Обобщение этой работы на
случай жидкости см. в [22].
**) Результаты работ [9, 11] с использованием координатного
представления были получены Боллом и Маклахланом [16]. Эти
авторы рассматривали поле излучения классически, а при
нахождении волновых функций кристалла использовали метод
Хартри.
ЭНЕРГИЯ КРИСТАЛЛА ПРИ УЧЕТЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ
105
где
Й(к) = ^кЧ2( - ]"а(1+/кр;па) |- (1.9)
I rnv I
па [ v v J
Если в (1,9) пренебречь слагаемыми кр' па> оператор (1,9)
переходит в оператор, представленный выражениями (6,2) и (6,8)
гл. II.
Здесь мы, ради простоты, ограничимся именно этим приближе-
