Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
{ложет бы^ь использовано адиабатическое приближение (дм. [14],
80 ЭКСИТОНЫ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ [ГЛ. II
§§ 28, 29). В соответствии с этим приближением сначала
определяется волновая функция х и отвечающая ей энергия U для
электронной подсистемы при фиксированных положениях ядер.
Поэтому, если г обозначает совокупность координат электронов
кристалла, a R определяет совокупность координат ядер, то % =
%(r, R), U = U (R), т. е. волновая функция % и энергия U при
таком подходе зависят от R как от параметра.
Затем величина U(R) рассматривается в качестве потенциальной
энергии в системе ядер и для нахождения волновой функции, оп-
ределяющей состояние подсистемы ядер, используется уравнение
[Гл+?/(Л)]Ф(Л) = ?Ф(Я). (7,5)
где TR - оператор кинетической энергии ядер кристалла.
Если пренебречь эффектом смешивания молекулярных состояний,
который может быть обусловлен межмолекулярным взаимодействием,
волновую функцию электронной подсистемы х в состоянии, когда
только одна из молекул (например, молекула па) возбуждена,
можно представить в следующем виде:
('¦) = <, П Ф°тр- (7,6)
m3 Ф па
При возбуждении одной из молекул кристалла равновесные поло-
жения молекул смещаются. Это означает, что минимум функции U
(R) уже не отвечает тем равновесным положениям молекул,
которые имели место в кристалле, когда все его молекулы
находились в основном состоянии. Поэтому, разлагая функцию U
(R) в ряд по малым смещениям относительно новых равновесных
положений и отбрасывая в этом ряду слагаемые третьего и более
высокого порядка малости, вводя нормальные координаты,
отвечающие колебаниям ядер относительно новых положений
равновесия, получаем для собственных функций и значений
оператора TR-\-U(R) следующие значения:
% (Я) = Ф... ... (Я)= П Ф*х(?х-?х. па)- (7-7*)
Еп а, N = Епа: ... jv^ ... = ^па, 0 ^ и • (7.76)
X
В (7,7а) Фд, - волновая функция гармонического осциллятора
нормальной координаты qх; величина qH па - равновесное значение
этой координаты в таком состоянии кристалла, когда возбуждена
только молекула па; квантовое число Afx = 0, 1, 2, ...
определяет
состояние осциллятора к.
В соотношении (7,7б'> в силу трансляционной симметрии вели-
чина Ещ, о не зависит фактически от вектора П- В тех же
криста/?"
ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
81
лах, где среди элементов симметрии решетки имеются такие,
которые переводят молекулы элементарной ячейки друг в друга,
величина Е^0у 0 не зависит также и от индекса а. Волновая
функция кристалла в рассматриваемом простейшем
мультипликативном приближении имеет следующий вид:
Я) = х?а(ОФ..."х...(Я). (7.8)
Состояния (7,8) выше были найдены без учета резонансного
взаимодействия между молекулами, что оправдано, если это
взаимодействие слабо. Оно в этом случае может быть учтено в
следующем приближении; см. § 2 гл. IX. Здесь же отметим лишь,
что попытки уточнения использованного выше расчета состояний
кристалла в условиях сильного экситон-фононного взаимодействия
были предприняты в целом ряде работ (см. [18-20]).
В частности, в работе Рашбы [18] рассматривались такие
возбужденные состояния кристалла, когда возбуждение
сосредоточено не на одной молекуле, как в (7,8), а охватывает
некоторую ограниченную область кристалла. В том случае, когда
время резонансной передачи возбуждения от молекулы к молекуле
мало по сравнению с временем перехода молекул в новые
равновесные положения *), локальная деформация в области
локализации возбуждения, как и в задаче
о поляроне [15], также может возникнуть. Ее вид при этом
оказывается согласованным с видом функции, определяющей
характер распределения возбуждения по молекулам кристалла в
окрестности локальной деформации. В частности, если в такой
модели резонансное взаимодействие устремить к нулю, состояния,
найденные в [18], переходят в (7,8).
В заключение отметим, что внутри одной и той же экситонной
зоны, если только она достаточно широка, могут быть
реализованы как состояния, в которых экситон-фононное
взаимодействие является сильным, так и состояния, в которых
роль этого взаимодействия слаба и может быть рассмотрена
методом теории возмущений (по этому поводу более подробно см.
[13]). Только в случае достаточно узких зон экситонные
состояния, вероятно, могут быть близкими по своей природе к
"локализованным" экситонам, о которых выше шла речь **).
*) Как уже указывалось выше, в этом случае реализованными
могут быть также и состояния свободных экситонов, которым не
отвечает наличие локальной деформации. Поскольку, однако, все
эти состояния были найдены вариационным методом, физический
смысл следует придавать лишь тем из них, которым отвечает
наименьшая энергия кристалла. Как показано в работе [18], в
одномерных кристаллах даже при наличии сильного резонансного
взаимодействия между молекулами экситон-фононное
взаимодействие приводит в некоторых случаях к тому, что
наименьшей энергии кристалла с экситоном отвечает состояние с
