Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
(1,11),
(2,6), (2,9), (4,17) и (4,24).
В кристаллах типа антрацена молекулы обладают центром инвер-
сии. Поэтому в любом молекулярном состоянии среднее значение
дипольного момента молекулы (g'lpjg') равно нулю. Имея в виду
это обстоятельство и ограничиваясь при определении П(к) лишь
линейными относительно бозе-амплитуд ?р(к) и Вр (к) слагаемыми,
находим, что
П (к) = YN 2 {Р(1> (к, Р) Вр (- к) + Р(2) (к, р) Вр+ (к)},
(6,5)
Р
где [см. также [4,19)]
Р(1)(к, Р)= 2 <0|ра!/>[^<л(-к)"ц(/),р(-к) +
а, /, ц (/)
+ Ахц(/)(к) Оц(/), Р
(к)], (6,6а)
Р(2) (к, Р) = 2 <01 р" |/> [tm (/) (- к) (/), р (- к) +
а,/, ц(Я
+ (/) (к) "jx (/), р (к)]. (6,66)
В кристаллах с центром инверсии
P<D(k, р)==Р<2)(к, р). (6,7)
Если же центром инверсии обладает не только кристалл в целом,
но и молекулы, его составляющие, то величины, входящие в
(6,6),
§ 6] ПРАВИЛА СУММ ДЛЯ СИЛ ОСЦИЛЛЯТОРОВ 73
вещественны и симметричны относительно замены к на - к. В этом
случае, используя (4,21) и (4,26), находим
рО>(к, р) = р<2>(к, р) =
_ у (о | р | /} 4 (Ле/ Е14 (/) (к^ и"11 (/) (к) (/) 'р (к)
[Де/ + ^/ + ^(1 (/) (к)] 1^(1 (/) (к) + ^р (к)]
а, /, М(/)
(6,7а)
Соотношения (6,3), (6,4) и (6,5) позволяют определить в
представлении вторичного квантования оператор П (к). Именно:
Й (к) = 4 Й (^ = ~ {р<1> (к' р) Е"к) В<> (~ к) ~
- Р(2) (к, р) Ер (к) Вр (к)]. (6,8)
Операторы Й^-(к) и Йу(-к) при любых х, у=1, 2, 3 удовлетворяют
простым перестановочным соотношениям:
Й, (к) Йу (- к) - Йу (- к) П, (к) = - ifrNo ^ ^ 6,у. (6,9)
Эти соотношения можно непосредственно установить, если
воспользоваться выражениями для операторов Й и П в
координатном представлении [см. (6,1) и (6,2)]. Поскольку,
кроме того, эти соотношения не могут зависеть от выбора
представления, они также должны
выполняться, если операторы Й и Й использовать в представлении
вторичного квантования. Поэтому, подставляя в (6,9) выражения
(6,5) и (6,8), находим искомое правило сумм:
2 К11 (к. р)Яу >(-к, Р)Ер(-к) + Я(у1,(-к. р)Я',2)(к, р) Ер (к)] =
Р
='*,(Ew)iw (6'10)
Соотношение (6,10), которое имеет место для произвольных к,
будет использовано в следующей главе. Оно имеет особенно
простой вид, если не учитывать смешивания молекулярных
состояний в приближении Гайтлера - Лондона, когда индекс р
обозначает (/, (х(/)). В этом случае в кристаллах, обладающих
центром инверсии, вектор
р(1) (к, (х (л) = Р(2> (к. |х (Л) = 2 <о | р" | /> "с(/) (к) =
Р5;; (/) (к)
(6,11)
с точностью до множителя ~\fN равен матричному элементу опера-
тора диподьногр момента элементарной ячейки, который рычисдец
на
74 ЭКСИТОНЫ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ [ГЛ. II
волновых функциях основного (01 и возбужденного состояний кри-
сталла, взятых в гайтлер-лондоновском приближении. Производя в
(6,10) суммирование по лг и у, находим, что в этом приближении
2 />(/)= !¦ (6Л2а)
/,п(Я
где
Я'г'л ПЛ ^ | Р(), д(/) (Ю | рг-л ч .р 10,ч
Гц(л(К) = 7 Г\~ (6,126)
- сила осциллятора, отвечающая переходу из основного состояния
в состояние |(х(/), к). Эта величина определяет в гайтлер-
лондонов- сксм приближении интенсивность поглощения света на
частоте а = Еу,(к)1А.
Если же не переходить к приближению Гайтлера-Лондона, вместо
(6,126) имеет место соотношение
2 I Р(1) (к, р) |2
Ер(к)= -'-К- Е (к). (6,13)
Вопросы поглощения света в экситонной области спектра спе-
циально будут обсуждаться в последующих главах. Здесь же лишь
отметим, что формулы (6,6), (6,7) и (6,13) позволяют вычислить
силу осциллятора перехода с большей точностью, чем это можно
сделать в гайтлер-лондоновском приближении, причем
соответствующие уточнения в некоторых случаях могут быть
весьма существенными.
Для того чтобы пояснить сказанное, рассмотрим, например,
кристаллы с центром инверсии, для которых справедлива формула
(6,7). Используя соотношение (3,17), вместо (6,7) получим
Если пренебречь смешиванием, то
Р = М.(?)> ип(/),n(?) - ute).
так что
Р0)(к, ц (/)) = ]/ х^(к)Л (к)- (6'15)
ПРАВИЛА СУММ ДЛЯ СИЛ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
75
Это приближение отличается от приближения Гайтлера - Лондона
лишь учетом таких состояний кристалла, в которых одновременно
возбуждена не одна, а несколько молекул. Для интенсивных пере-
ходов отношение сил осцилляторов для компонент давыдовского
расщепления в этом приближении может заметно отличаться от
соответствующего результата в приближении Гайтлера - Лондона.
Используя (6,126), (6,13) и (6,15), находим, что для двух
компонент давыдовского расщепления [г и [г'
wk> _ K;(/)Wi2 _^№я(к)) П(я(к> ,616) v (/) w I ps;v </) <к> I V
<(/> <к> / F"\f) №)'
Поэтому, например, для кристалла антрацена, где интенсивный
второй молекулярный переход расщепляется на две линий, для
которых *) ЕаЛ (k ~ 0) = 53 • 103 см~1 и Еь~л (k ~ 0) = 37 • 103
см~1, отношение сил осцилляторов при учете многомолекулярных
возбужденных состояний**) отличается от соответствующего
соотношения, найденного
?Т-Л
в приближении Гайтлера - Лондона, множителем -^~1,4. Анало-
