Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
(к) равны и вещественны. При этом уравнения (4,25) можно
записать в следующем виде:
[Е Ер (к)] Up (к) =
= 2 ^(/), IX(s-) (к) [Яц.(я-) (к) Н-
^(g-) (к)]; (5,1а)
д (г), g Ф /
[Е -f- Ер (/) (к)] v u (к) =
= 2 E*\i(/), ц(^) (к) [Яц(^)(к) -)- Vp(g) (к)]. (5,16)
v-(g), g?=f
Определим поправки к энергии экситона (|я (Л), к),
возникающие при учете смешивания. В нулевом приближении теории
возмущений Е - Ер (Л) (к) и, кроме того, в соответствии с
условием нормировки
70 ЭКСИТОНЫ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ [ГЛ. ГГ
(4,256), Ид(г)(к) = б(1(А)1|1(г), (g) = 0 для всех g. В первом при
ближении теории возмущений положим:
+ Wk)=^Vk)- (52)
Ец (k) = Ед (ft) (k) + Е%\ft) (k).
Подставляя соотношения (5,2) в уравнения (5,1) при f фк и
сопоставляя выражения одинаковой малости, находим
"т /1,4 _ Dl\f). и (A) W т пс)- ¦ /сох
ГЛ E"w~E"U) ' ^ (*,+?,(/) ' ( ' }
Если же теперь подставить (5,2) и (5,3) в уравнения (5,1) для
/ = h, находим первую поправку к энергии:
p(i) V1 (А), ц (g) (к))
?д(*)(к) 2л ?МЛ)(к)-?Мг)(к)
g4=h
в,
H(g) (к)) g .
- Л(А,(к)+?ц(,)(к)- {°'V
м. (г), e+h
Если в этом выражении пренебречь зависимостью энергий Е^ ^
(к) от к, а в матрице Z^*), д (g) (к) учесть только ту
часть взаимодействия, которая обусловлена длинноволновым
полем, то величину
?:u(k) можно получить и в рамках приближения Гайтлера - Лондона
(см. гл. I), если только в качестве межмолекулярного
взаимодействия брать взаимодействие не в пустоте, а в среде,
обладающей тензором ег;-(со), в котором, однако, вклад
состояний, обусловленных молекулярным термом h, опущен.
Для определения величины ^^(Л) (к) достаточно
воспользоваться
уравнением (5,16), полагая в нем f - h. Подставляя (5,3) в это
уравнение, легко убедиться, что величина ^(Л) (к),
квадратичная относительно матрицы D(к),
^i) (vv ^ (5 5\
*n(A)W- 2?МЛ)(к)' (5'5)
мала по сравнению с величинами (5,3) и в первом приближении
может быть опущена. Аналогичная ситуация имеет место и для
поправки им(Л) чт0 непосредственно следует, например, из условия
нормировки (4,256).
Сравним теперь выражение для энергии ^^(к) с соответствующей
величиной, которая получается в приближении Гайтлера---
ПРАВИЛА СУММ ДЛЯ СИЛ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
71
Лондона. Согласно Крейгу [6, 7]
pd) (tm) п N V (А). и(г) (к))
?Ц(А) (к)- 2^ дг-. (кч ?Г-Л • (5-6)
и(г). si=h C4(g)(K>
Это выражение подобно первому слагаемому в формуле (5,4),
однако не равно ему, поскольку (к) ф (й) (к) и, кроме того, в
силу
(4,22)
(nW ,и-Л2 (ДеА + ^а) (teg + S'g) (п(\)г-л ".Л2 ,с
(А* (Л), n (g) (k)j - яМА) (к) яМг) (к) *Амл), nte)(k)J •
(5>7)
Что же касается второго слагаемого в (5,4), то оно вообще не
имеет аналога в (5,6).
В качестве примера использования формул (5,4) и (5,6)
рассмотрим кристаллы типа антрацена с двумя молекулами в
элементарной ячейке. Для этих кристаллов обычно обсуждается
роль смешивания первого возбужденного состояния (1) со вторым
возбужденным состоянием (2). Поскольку сила осциллятора,
отвечающая первому возбужденному состоянию, в рассматриваемых
кристаллах мала по сравнению с силой осциллятора, отвечающей
второму возбужденному состоянию, роль смешивания оказывается
особенно существенной для нижайшего электронного перехода.
(Более подробно см. § 9.)
Обозначим буквами ц = а и \х - Ь компоненты давыдовского
расщепления. Тогда, очевидно, если не учитывать более высоких
возбужденных состояний, то в соответствии с (5,4) для
нижайшего давыдовского дублета при учете смешивания
р р Yk'l I (Dfl(l). а (2) (k>)2 (Da(l), a(2)(k))2
Ea 00 11 a (1) (k) + Ea ('.У- ?a (7) EaE^ ' (5*8a>
p (-1,4 p (-ьч j (D"(l), "(2)(k>)2 (Db(l), "(2)00)2 (5
о,.
?"(k)-?M.)WT-?--?-- Eb(i) + Eb{2) " (5'86>
В то же время [см. (5,6)] для рассматриваемого случая
р(1)г-лг1, (0а(1Г)'Ла(2)(к))2 р(1)т-л flc'1 ¦ (0*МЛ(2)(к))2 ,5
дч
<к)" к-ию-КЬ)т' ?*"' ' <5'9)
§ 6. Правила сумм для сил осцилляторов экситонных переходов и
гипохромный эффект
В этом параграфе будет дан вывод правила сумм для экситонных
переходов в кристалле - аналога правила сумм для сил
осцилляторов дипольных переходов в атоме.
С этой целью введем два оператора. Один из них
П0О=2^кГ""Рпа. (6,1)
72 ЭКСИТОНЫ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ [ГЛ. II
где р = 2 evr" ~ оператор дипольного момента молекулы
(па),
а v v
е -заряд v-й частицы, принадлежащей молекуле (па), /¦" -
радиус- вектор, определяющий положение этой частицы. Второй
оператор
Wn<k)-=SV<6'2)
па
Поскольку оператор (6,1) явно от времени не зависит, оператор
(6,2) можно представить следующим образом (см., например,
[8]):
4-П(к) = ^-(ЯП(к)-П(к)Я), (6,3)
где Н - оператор Гамильтона, описывающий элементарные возбуж-
дения в кристалле в экситонной области спектра. Принимая во
внимание формулу (4,25а), оператор Н запишем в виде
Н = Го + 2 ?р (к) ЯР+ (к) Вр (к). (6,4)
Р, к
Что же касается оператора П(к), то его вид в представлении
вторичного квантования может быть найден на основе формул
