Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
ИЛИ
PnfPnf - PnfPnf = 1-2А/ (2,76)
При обычных плотностях электромагнитного излучения внутри кри-
сталла возбуждается только малая часть молекул, т. е.
выполняются неравенства
№/)<!¦ (2,8)
В этих случаях можно считать, что операторы (2,6) приближенно
удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям для
бозо
нов *), т. е.
Pnf^Bnf, P%f==Bnt, Ba4.B$f - BafBn'fi =bnn'bff', (2,9)
а все другие комбинации операторов Bnf коммутируют.
Учитывая (2,7), преобразуем (2,2) к виду
Hl = '2i(Az,-{-3f)BtfBnt. (2,10)
П
Таким же образом преобразуются операторы (2,4) и (2,5):
= 2' MfnmBtifBaf, (2,11)
п, т
= Т S' M'im + BmfBnf)- (2,12)
n, m
Оператор H.2 является суммой операторов, отвечающих переносу
возбуждения с одной молекулы на другую. Оператор Н3 учитывает
рождение и уничтожение возбуждения, распределенного
одновременно на двух молекулах кристалла.
*) Строгий переход от операторов Рп,, Р^/ к операторам Бозе
Bnj, В*, изложен в гл. X.
§ 2] ЭКСИТОНЫ В ПРИБЛИЖЕНИИ ГАЙТЛЕРА - ЛОНДОНА 55
Рассмотрим вначале (2,1) без оператора Н3. Такое приближение
соответствует приближению Гайтлера - Лондона. В этом
приближении оператор энергии возбуждения
дЯ = Я-Г0 = 2(Де/ + ^/)Вл+/Вл/+ 2'М^Ж/Ял/. (2,13)
п п, тп
Исследуем собственные значения Д/f раздельно для кристаллов с
одной молекулой в элементарной ячейке и в общем случае.
Кристаллы с одной молекулой в элементарной ячейке
Для кристаллов с одной молекулой в элементарной ячейке ин-
дексы п и т заменяются векторами решетки пищ. Диагонализация
оператора энергии возбуждения
ДЯ = 2(Ае/ + ^/)^/бп/+ м{тВ^,Вп, (2,14)
n n, m
осуществляется переходом от операторов Вп/ к новым операторам
В^(к) с помощью унитарного преобразования
Вп/=-^г^В/(к)ехр(/кп), (2,15)
k
где к - волновой вектор, определяемый равенствами (1,16) гл.
I. Подставляя (2,15) в (2,9), мы убедимся, что операторы Bf(к)
удовлетворяют перестановочным соотношениям
вг (к') в; (к) - в; (к) вг (к')=6Uk-6/r. (2,16)
Следовательно, операторы В/ (к) являются бозе-операторами
рождения состояний, характеризующихся квантовыми числами / и
волновыми векторами к. Операторы В/(к) уничтожают те же
состояния. Подставляя (2,15) в (2,14), имеем
ДЯ = 2 {Ае/ + 3)f + Lf (к)} В) (к) В, Он), (2,17)
к
где
Lf (к) = 2'^яга ехР № (n -т)].
т
Оператор (2,17) диагонален относительно операторов А^(к) = =
Bf (k)fi/(k) чисел заполнения экситонных состояний к/. Поэтому
его собственными функциями будут
| ... А^(к) ...),
где квантовые числа Л^(к) = 0, 1, . . . указывают число
экситонных возбуждений определенного типа. Состояние кристалла
с одним
66 ЭКСИТОНЫ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ [ГЛ. II
экситонным возбуждением к/ определяется набором квантовых
чисел Nf (к') = 6uk'6//'. Этому состоянию согласно (2,17)
соответствует энергия возбуждения
?/(к) = Ле/+=Э5/+1/(к). (2,17а)
Полученный результат совпадает с (1,12) гл. I.
Кристалл с несколькими молекулами в элементарной ячейке
Если кристалл содержит а молекул в элементарной ячейке, то
индексы п и т в (2,13) определяются выражениями
я = (п, а), т = (т, р),
где п и m - векторы, характеризующие положение элементарной
ячейки; а и |3 - числа 1, 2 о,
характеризующие положение
и ориентацию молекул в элементарной ячейке.
Диагонализация оператора (2,13) может быть произведена в два
этапа. Вначале производим каноническое преобразование
Bnf = N~'ls 2 Aaf (k) exp (гкгпа). (2,18)
к
где ^4а^(к) - новые операторы, удовлетворяющие перестановочным
соотношениям
Aa'f (к ) Aaf (к) - Aaf (к) Аа< f (к ) = 6//'6аа'6кк-. (2,19)
Подставляя (2,18) в (2,13), находим новое выражение
оператора
энергии возбуждения:
АН - 2 2 (^е/ Ч- ^f) Aaf (к) Aaf (к) + 2 (к) Ар) (к) Aaf (к),
а к к, а, (3
(2,20)
где
(к) = 2 ^па, ш(5 СХр [i'k (Гпа m(i)]• (2,21)
m
Для упрощения записи введем краткое обозначение:
S'ар (к) = (Д6/ -(- 3j) 6ар + (к). (2,22)
Поскольку мы рассматриваем только одно /-е возбужденное
состояние, то индекс / далее будем опускать. В новых
обозначениях оператор (2,20) имеет вид
ДЯ= 2 -^ар (к) А$ (к) Аа (к). (2,23)
И, а, Р
5 2] ЭКСИТОНЫ В ПРИБЛИЖЕНИИ ГАЙТЛЕРА - ЛОНДОНА 57
Диагонализация оператора (2,23) осуществляется с помощью
канонического преобразования *)
а
Аа (к) = 2 "ац (к) (к) (2,24)
ii=i
при условиях
У"* й. =L, У, и* и =6 . (2,25)
¦" ап ар " ап av nv
Подставляя (2,24) в (2,19), мы убедимся, что новые операторы
удовлетворяют перестановочным соотношениям
В" (к) В+ (к') - 5+ (кО В" (к) = вкк.в^. (2,26)
Поскольку каноническое преобразование (2,24) диагонализует
оператор энергии (2,23), то должно выполняться равенство
ДН = S uav (k) &аЪ (к) (к) В+ (к) Bv (к) =
= S^(k)fi,T(k)^(k). (2,27)
цк
Равенство (2,27) выполняется, если коэффициенты иац
удовлетворяют системе уравнений
S -S'pa (k) "pn (k) = Ец (k) % (k)- (2,28)
Полученная система уравнений совпадает с системой уравнений
(1,18) гл. I.
Из (2,28) следует, что каждому фиксированному значению
волнового вектора к в кристалле соответствует ст экситонных
