Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
требованию ортогонализации.
§ 1) ПЕРЕХОД К ПРЕДСТАВЛЕНИЮ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ 51
удовлетворяли следующим свойствам:
btf\...Nnf ...) = {\-Naf)\ ...(1 + Л7л/)...), bnf\ ...Nnf...)=Nnf\
Соотношения (1,6) позволяют назвать b"f оператором рождения
состояния nf, a bnf-оператором уничтожения того же состояния. С
помощью (1,6) можно установить операторные перестановочные
соотношения:
bnjblf-\-bnfbnf-\,
А л _.+ *+ _п (1'7)
bnfbnf - b nfbnf - 0.
Операторы Ьп! и Ь"/, относящиеся к разным значениям п или /,
действуют на разные переменные волновой функции (1,3), поэтому
естественно, что они должны коммутировать.
Если ввести операторные функции
Ф(. ¦¦!"¦••)*= 21 bnfq>?(&"),
nf
nf
то легко установить правила перехода от операторов
шредингеров- ского представления к операторам в представлении
вторичного квантования. Так, например, оператор полного числа
молекул в кристалле равен
N= J (... 1п . 1п ...) dl^^b:fbnf- (1,9)
nf
Оператор энергии кристалла без учета взаимодействия между
молекулами получается с помощью преобразования
2//"(&")->?<>.
//"== J (... In ¦ ¦ .. In ¦ ¦ .)dl = 2jbtfbn/ef.
п nf
Любой оператор, изображаемый в представлении Шредингера сум-
мой операторов Vп (|л), каждый из которых действует только на
внутренние переменные одной молекулы, преобразуется по правилу
2 ^"(U->F= /$+(...6... (• =
п п
= ^ b+nSbng(g\Vn\f), (1,11)
Л, /, g
52 ЭКСИТОНЫ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ [ГЛ. 11
где
<g\Vn\f)=$kVn(l"Hdln- (1-Па)
Любой оператор, изображаемый в представлении Шредингера суммой
операторов Unm{l>ll, %т), каждый из которых действует только на
внутренние переменные двух молекул, преобразуется по правилу
^0am->U~ J $+(... I Г
п, т п, т
(• • • I ¦ ¦ .)dl'dl= ^ btf'btng'bmgbnf{f'g']Unm\gf),
(1,12)
nmfgj'g'
где
(f'g' I uam I /*} = J (?") <f? (У 0nm(fSm (у Ф/ (|n) dia dim.
Используя (1,10) и (1,12), преобразуем оператор энергии
(1,1) кристалла с закрепленными молекулами к представлению
вторичного квантования:
S' bnfl'mg'bmgbnf(f'g/\Vnm\fg), (1,13)
где /, gf, g - квантовые числа, характеризующие все стацио-
нарные состояния молекул. Суммирование в первой сумме (1,13)
производится по всем значениям п и /, Во второй сумме произво-
дится суммирование по всем значениям п, т., /, /', g и g' при
пфт.
§ 2. Экситонные состояния при учете только одного
возбужденного уровня молекулы. Переход к приближению Гайтлера
- Лондона
Рассмотрим здесь лишь нижайшие возбужденные состояния кри-
сталла, в которых молекулы еще остаются нейтральными. Иногда
при вычислении энергии и свойств соответствующих экситонных
состояний кристалла достаточно учесть только одно возбужденное
состояние молекулы. В этом случае в суммах по g и / оператора
энергии (1,13) следует сохранить только члены при значениях
fug, равных 0 и /.
Молекулярные функции ф° и ср/ всегда можно выбрать действи-
тельными. В этом случае матричные элементы, входящие в
оператор (1,13), будут действительными и симметричными.
Рассмотрим сначала такие состояния кристалла, которые
соответствуют возбуждению только одной молекулы в кристалле. В
связи с этим в операторе (1,13) следует учесть только:
ЭКСИТОНЫ В ПРИБЛИЖЕНИИ ГАЙТЛЕРА - ЛОНДОНА
53
1) взаимодействие между молекулами, находящимися в основном
состоянии; такие взаимодействия характеризуются матричными
элементами вида (00 | Vпт | 00);
2) взаимодействия возбужденной молекулы с невозбужденными;
такие взаимодействия характеризуются матричными элементами
вида
(0/1 Vпт I 0/);
3) матричные элементы вида (0/ j Vпт \ /0) = М"т,
характеризующие передачу возбуждения от одной молекулы к
другой, и равные им (с точностью до не учитываемых здесь
эффектов обмена электронами между молекулами) матричные
элементы
(оо! vnm \ //) = (//1 vnm | оо) ~ ML-
Если учесть, что согласно (1,2) в нашем случае имеет место
равенство
Nn0=l-Nnf,
то оператор энергии (1,13) при учете только линейных членов
относительно операторов чисел заполнений сводится к виду
Я = 1Г0+Я1 + Я2+Яз. (2,1)
где
Г0 = N(^ + 1 J)' (00 j Vпт 100)
п, т
- постоянное слагаемое;
й\= 2 (^f+3jf)Nnf, Ае/ = е/- е0 (2,2)
П
- энергия возбуждения изолированной молекулы;
SSг= 2 {(0/1 Vnm 10/> - <001 Vnm 100)} (2,3)
т
- разность энергии взаимодействия возбужденной и
невозбужденной молекулы со всеми остальными молекулами
кристалла;
Н2 = 2 МпщЬпФmfbтфnf. (2,4)
п, т
#3 === ~2 пФт$ mfb nf ~I- ^л/^гтг/^тО^ло)* (^.5)
п, т
Для дальнейшего удобно ввести новые операторы с помощью
равенств
Pnf =bnobnf, Р nf === bnfbfiQ. (2.6)
54 ЭКСИТОНЫ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ [ГЛ. II
Из (2,6) следует, что оператор Руничтожает возбуждение /, а
оператор Р"/ рождает возбуждение / на молекуле п. С помощью
(2,6) и (1,5) при учете равенства NnjNn0 = 0 находим
PnfPnf = Nnf{ 1-Nno) = Nnf,
. ~ ~ (2.7)
PnfPnf = Nno= 1 - Nnf.
Операторные равенства (2,7) позволяют написать перестановочные
соотношения
PnfPnf + PnfPnf = 1 (2,7а)
