Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
(1,4),
*) См. Н. Н. Боголюбов, Лекции по квантовой
статистике, Киев,
1949, § 11, а также С. В. Т я б л и к о в,
Методы квантовой теории магне
тизма, Изд. "Наука", 1965, § 13.
24 М.. Агранович
370 ПРИЛОЖЕНИЕ
вещественны и, более того, принимают только положительные зна-
чения. Если эти значения параметра Е пронумеровать с помощью
индекса ц, Е - Е^, ц = 1, 2, t, то отвечающие им значения
коэффициентов иа и va, т. е. величины uail и г>ай, как раз и
определяют, в соответствии с (1,2), переход к новым операторам
и . Величины uail, va[i удовлетворяют соотношениям
ортогональности. Для их получения рассмотрим систему уравнений
(1,3) при Е = Е^\
~ 2 2 Ахрмрц>
= 2 ^аРмРй ~Ь 2 ^аР^Рй-
3 Р
Отсюда следует, что
Ец 2 (мацмац 1 ^ац^ац,) ==
а
= 2 {^арг,рциац1 ВфмРцмац, + ^Ра^Рц^ац, + ^аР^Рй^ац,}- аР
Перейдем в этом соотношении к сопряженным величинам и произ-
ведем замену индексов [а
2 (маймацч ^ац^ац,) - а
== 2 {-^аР^Зц^ай Ч- ^aP^PHi^aH -(~ ^Ра^Рй^ай Н- ^аР^Ри^аи}' аР
Вычитая это равенство из предыдущего, получаем
(Дц ^Ц[) 2 (мацмац, ^ац^ай!) == а
Поэтому
2 (ManMani ^an^ani)= О- (1>6)
а
если Ей ф ЕЙ1. Однако и в случае кратных значений параметра Е
всегда можно выбрать такую систему решений мИЙ, иай, которая
была бы ортогональной в смысле (1,6). Поэтому можно вообще
считать, что (1,6) выполняется, если только |х ф |хг Принимая
во внимание (1,4), для любых |i и |ij
2 ("ацИац, - f an^aj = б (|X - [Xj). (1,7)
a
Аналогично можно показать, что выполняются также соотношения
2 (^ац^да 1 ^ац^ац) = 0> 0,8)
а
2 (ирц"оц - = 6 (а - Р), (1,9)
2 ("Рц^ац Урциац) - 0- 0> Ю)
ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ 371
Используя соотношения (1,7) - (1,10), нетрудно убедиться в
том, что операторы и ^ [см. (1,2)] удовлетворяют соотношениям
коммутации
- ?дДд = 6 (Iх Ml)>
|д,|д - 0, (1,11)
1д+Ц- Ц^=0,
т. е. являются, как и Ьа, Ь^, операторными амплитудами для ста-
тистики Бозе.
Если первое из соотношений (1,2) умножить на иа второе на
v*aVi, результаты сложить и далее провести суммирование по ц,
то, используя (1,9), можно выразить операторы Ьа и Ъ^ через
новые операторы и с помощью формул
Ьа = 2 (|дмад "Ь 1д ^ад)> Ьа - 2 (|д мад "Ь ^д^ад)- (1> 12)
д Д
Подставляя (1,12) в (1,1) и используя соотношения
ортогональности
(1,7) - (1,10), окончательно находим
Н = Е0 - 2 АХд^ад -+- 2 1ц. (1,13)
ац д
Поскольку собственные значения оператора равны 0, 1, 2,
...,
ясно, что значения как раз и определяют энергии бозонов -
элементарных возбуждений, отвечающих гамильтониану Й.
ЛИТЕРАТУРА
К введению
1. Я. И. Ф р е н к е л ь, Phys. Rev. 37, 17 (1931).
2. Я- И. Френкель, Phys. Rev. 37, 1276 (1931).
3. R. Е. Peierls, Ann. Physik 13 (5), 905 (1932).
4. Я- И. Ф р е н к е л ь, Sow. Phys. 9, 158 (1936).
5. G. Н. Wannier, Phys. Rev. 52, 191 (1937).
6. Г. Я. Любарский, Теория групп и ее применение в физике,
Физмат- гиз, 1958.
7. Р. Н о к с, Теория экситонов, Изд. "Мир", М., 1966.
8. Е. Ф. Г р о с с, УФН 63, 575 (1957).
9. D. G. Thomas, J. J. Н о р f i е 1 d, Phys. Rev. Letters
5, 505 (1960); Phvs.
Rev. 124, 657 (1961).
10. В. М. Агранович, В. Л. Гинзбург, Кристаллооптика с учетом
пространственной дисперсии и теория экситонов, Изд. "Наука",
1965; УФН 76, 643 (1962); 77, 663 (1962); Fortschr. Phys. 11,
163 (1963).
11. В. М. Агранович, ФТТ 8, 2801 (1966).
12. В. Л. Броуде, Э. И. Р а ш б а, Е. Ф. Ш е к а, ДАН
СССР 139, 1085
(1961); Э. И. Р а ш б а, Оптика и спектроскопия 2, 576
(1957); ФТТ 4,
330 (1962).
13. В. М. Агранович, Ю. В. Конобеев, Оптика и спектроскопия
6,242
(1959).
14. Н. С. Wolf, G. Gall us, Phys. Stat. Sol. 16, 277 (1966).
15. А. С. Давыдов, Теория поглощения света в молекулярных
кристаллах, Киев, 1951; УФН 82, 393 (1964).
16. В. Л. Гинзбург, Распространение электромагнитных волн в
плазме, изд. 2-е, Изд. "Наука", 1967.
17. Б. И. Степанов, ДАН СССР 112, 839 (1957).
18. 1. Ketskemety, I. Dombi, R. Н о г v a i,
Ann. Physik 8, 342 (1961).
19. Старостин, Оптика и спектроскопия 22, 646 (1967).
20. Н. Haken, Fortschr. Phys, 6, 271 (1958); УФН 68, 565
(1959).
К главе I
1. И. В. Обреимов, ЖРФХО 59, 548 (1927).
2. И. В. Обреимов, W. J. d е Haas, Comm. Leiden, № 191
(1928).
3. И. В. Обреимов, W. J. d е Haas, Comm. Leiden, № 204
(1929).
ЛИТЕРАТУРА 373
4. И. В. Обреимов, А. Ф. Прихоть ко, Sow. Phys. 1, 203 (1932)-
9, 34 (1936); 9, 48 (1936).
5. D. S. McClure, Solid State Phys. 8, 1 (1959).
6. H. C. Wolf, Solid State Phys. 9, 1 (1959).
7. В. Л. Броуде, Г. В. Климушева, А. Л. Л и б е р м а н, М.
И. Оноприенко, А. Ф. П р и х о т ь к о, А. И. Шатенштейн,
Спектры по
глощения молекулярных кристаллов (бензол и некоторые его
гомологи), Киев, 1965.
8. В. Л. Броуде, А. Ф. П р и х о т ь к о, Э. И. Рашба, УФН 67,
99
(1959).
9. А. С. Давыдов, Теория поглощения света в молекулярных
кристаллах, Киев, 1951.
10. А. С. Давыдов, Теория молекулярных экситонов, Изд.
"Наука", 1968.
11. А. С. Давыдов, ЖЭТФ 18, 210 (1948).
12. В. М. Агранович, В. Л. Г и н з б у р г,
