Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
рассеяние экситонов друг на друге, то достаточно принимать во
внимание лишь те состояния кристалла, в которых число
экситонов равно 0 или 1. В этих состояниях, независимо от
того, является ли кристалл одномерным, двумерным или
трехмерным, кинетическое взаимодействие тождественно
обращается в нуль, так что экситон Френкеля можно с одинаковым
правом считать бозоном или фермионом (т. е. описывать в
операторах Бозе или Ферми), причем в этом случае оба описания
для экситонов приводят, естественно, к идентичным результатам.
Совсем иная ситуация возникает при переходе к изучению кол-
лективных свойств экситонов. В этом случае, как это было
показано выше, кинематическое взаимодействие играет
существенную роль. Однако величина рассеяния элементарных
возбуждений нулевого приближения друг на друге, которое
вызывает это взаимодействие, в трехмерных, двумерных и
одномерных кристаллах оказывается весьма различной. В
трехмерных кристаллах это рассеяние, изменяя-форму спектра при
малых k, не изменяет статистики элементарных возбуждений.
§ 5] СТАТИСТИКА ЭКСИТОНОВ В ОДНОМЕРНЫХ КРИСТАЛЛАХ 367
Совершенно иная картина имеет место в одномерных кристаллах.
Именно, в работе Чеснута и Саны [20] было показано, что если
для одномерного газа паулионов ограничиться только учетом
взаимодействия ближайших соседей, то оператор энергии такого
газа можно представить в виде оператора энергии идеального
газа фермионов.
Действительно, в этом случае оператор энергии, выраженный
через операторы Паули, имеет вид
N N-1
н = 2 bPtPs+'h м СPtPs+x +- Pt+iPs}, (5,1)
5 = 1 5=*1
здесь Л - энергия возбуждения изолированной молекулы, М - ма-
тричный элемент переноса возбуждения от молекулы s к молекуле
s -f 1, N -\- 1 -число молекул в линейной цепочке.
Если от операторов Ps, Pt перейти к операторам as, at,
СIs === Р s&s>
+ п + ~ (5'2^ as = Ps Es, где оператор е5 определяется
соотношением
f )
es|"i %>= П(- l)";[l"i %>. С5-3)
[i = i J
то
N N
H- 2 Ла*а*-|- 2 М(а^а*+1-Ь a++ias). (5,4)
5 = 1
причем as, at являются уже операторами Ферми. Переходя к новым
ферми-операторам a*, at
N
ks,
5=1
у2 X
(5,5)
получаем
где
Н=^Ека+ак, (5.6)
Ek = S. 2М cosk, k = NK_^X , /=1,2 N. (5,7)
Таким образом, в этом приближении элементарные возбуждения си-
стемы паулионов - френкелевских экситонов являются точно фер-
368
СТАТИСТИКА И КОЛЛЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЭКСИТОНОВ [ГЛ. X
мионами, так что для них, естественно, конденсация в
пространстве импульсов невозможна.
Если учесть взаимодействия не только ближайших, но и более
далеких соседей, возникает кинематическое взаимодействие. Это
взаимодействие в одномерных структурах даже для дипольных
переходов в молекулах сравнительно мало. Однако, независимо от
величины этого взаимодействия, его учет не изменяет сделанного
выше вывода о невозможности бозе-эйнштейновской конденсации
экситонов в одномерных кристаллах. Такое заключение
непосредственно следует также из результатов работ Вагнера
[24], Хохенберга [25] и Крюгера [26], основанных на
использовании известного неравенства Боголюбова для
квазисредних [27]. В частности, в работе Крюгера было
показано, что бозе-эйнштейновская конденсация бозе-газа
элементарных возбуждений, взаимодействующих произвольным
образом, невозможна в кристаллах, у которых один или несколько
размеров ограничены, тогда как среди других размеров хотя бы
один является бесконечным. В то же время в [26]
подчеркивается, что такого рода кристаллы, с точки зрения
анализа возможности бозе-эйнштейновской конденсации, являются
аномалиями и поэтому не могут быть хорошей аппроксимацией для
конечных кристаллов (в частности, для пленок, используемых в
опытах), где, согласно Крюгеру [26], бозе-эйнштейновская
конденсация может оказаться достижимой.
Отсылая читателя за подробностями к цитированным работам,
отметим лишь, что рассматриваемая в них проблема представляет
большой интерес не только в методическом смысле, но также и в
связи с проблемой сверхтекучести поверхностных экситонов, а
также экситонов в двумерных кристаллах.
ГТРИЛОЖЕНИ Е
ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ ГАМИЛЬТОНИАНА, КВАДРАТИЧНОГО ОТНОСИТЕЛЬНО БОЗЕ-
АМПЛИТУД
Пусть гамильтониан Н является квадратичной формой бозе-амп-
литуд Ьа и Ьа , а=1. 2 t
Й = ?0 +1 ^ [Аа^а ftp+ + Л>а6р] + J] (1,1)
а" Р а" Р
причем матрица Ва? эрмитова, а матрица Лаз симметрична. В соот-
ветствии с методом Тябликова - Боголюбова *), диагонализация
квадратичной формы (1,1) может быть проведена путем перехода к
новым операторам:
In == (^а^ап Ьа г>ац); Iji = (ba uafl bava^), (1,2)
а а
где коэффициенты иа иа определяются из системы линейных урав-
нений
Еиа = 2 Ахр"[з>
V л* a. V R- (1>3)
- Eva = 2j ЛрМ" Ч- 2j ДхВ^В
P P
при выполнении условия нормировки
S("a"a -(r)а(r)а)= 1- 0-4)
а
Можно показать, основываясь на свойствах симметрии матриц Аа^ и
Ва[3, что значения параметра Е, при котором система уравнений
(1,3) имеет нетривиальные решения, удовлетворяющие условию
