Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
постоянной решетки) компенсирует ошибку, связанную с переходом
от паулионов к бозонам.
Однако отталкивание на малых расстояниях еще не позволяет
судить о том, в каком состоянии находится система экситонов
при низких температурах. Действительно, наличие достаточно
сильного притяжения между экситонами на расстояниях порядка
постоянной решетки или больших может привести к появлению
связанных состояний, т. е. к биэкситонам, после чего
рассмотрение системы экситонов при низких температурах
несколько усложняется и требует особого подхода *). В связи со
сказанным учтем оставшуюся часть кинематического
взаимодействия между экситонами и рассмотрим прежде всего ту
не учтенную в Н' [см. (3,1)1 часть оператора кинематического
взаимодействия между экситонами, которая, так же как и Н',
возникает из (1,3) при переходе к операторам Бозе и которая
определяется матричными элементами
Подставляя (2,4а) в (1,3), находим, что основное слагаемое в
операторе, определяющем не учтенное в (3,1) кинематическое
взаимодействие двух экситонов друг с другом, имеет вид**)
Я U = - ^ Yi М(tm)' {BtBfBsBs. + (3,4)
S ф s'
Обсудим более подробно свойства этого оператора. Действуя на
экситон, находящийся в точке s, этот оператор переводит его в
точку s'. Однако результат действия рассматриваемого оператора
на соответствующую волновую функцию системы не равен нулю лишь
в том случае, если наряду с экситоном в точке s присутствует
экситон в точке s' или же второй экситон в точке s. Таким
образом, матричный элемент оператора (3,4) отличен от нуля
лишь для таких пар состояний, Ыля которых либо в начальном,
либо в конечном состоянии оба экситона "сидят" на одном узле.
Воспользуемся теперь тем, что, как это было показано выше,
на малых расстояниях экситоны испытывают сильное отталкивание.
Легко показать, используя результаты гл. VI, что значение
волновой функции, отвечающее в рассматриваемом случае малым
относительным
*) В этом случае при низких Т следует рассматривать
коллективные свойства не экситонов, а биэкситонов. На
возможность образования биэкси- тонов ("экситонных молекул")
указано впервые в работах [13]. Экспериментальное
доказательство их существования в кремнии дано Хайнесом [13а].
**) По причине, которая будет разъяснена в следующем
параграфе, в (3,4) опущены слагаемые, не сохраняющие число
экситонов неизменным.
360 СТАТИСТИКА И КОЛЛЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЭКСИТОНОВ [ГЛ. X
расстояниям между экситонами, по модулю равно ~ /W/Д, где М -
величина порядка ширины экситонной зоны. Это обстоятельство
приводит к тому, что хотя величина | MlSS' | (в 3,4) и порядка
ширины экситонной зоны, поправки к энергии взаимодействия
между экситонами, возникающие благодаря кинематическому
взаимодействию (3,4), в различных порядках теории возмущений
пропорциональны соответствующим степеням малого параметра
jA^j/A и малы по сравнению с шириной экситонной зоны даже на
расстоянии постоянной решетки. Поскольку матричные элементы
Mlss- убывают с ростом | п - п' | не медленнее, чем 1 /1п - п''
|3 [напомним, что ss=(na)], взаимодействие между экситонами,
обусловленное оператором (3,4), в силу вышесказанного, на
любых расстояниях между экситонами удовлетворяет неравенству
\vcss' |<С т* | П_П'|2-' (3.5)
где т.* - эффективная масса экситона.
В соответствии с [12], § 45 и § 125, выполнение неравенства
(3,5) означает, что взаимодействие f°ss•, даже если оно
отвечает притяжению между экситонами, не приводит к появлению
связанных состояний, а его вклад в амплитуду рассеяния можно
вычислить в первом борновском приближении. Поскольку энергия
взаимодействия | t°SS' | мала даже по сравнению с шириной
экситонной зоны, учет этого взаимодействия, не приводящего к
появлению связанных состояний, может лишь дать малые поправки
к длине рассеяния экситонов друг на друге, обусловленной
энергией (3,2). Поэтому длина рассеяния экситонов друг на
друге остается отрицательной, что говорит о возможности бозе-
эйнштейновской конденсации экситонов при отсутствии между ними
динамического взаимодействия.
Используя найденную выше длину рассеяния, а также результаты
работ [14, 15], находим, что если к = 0 отвечает минимуму
энергии в экситонной зоне, то спектр идеального газа паулионов
имеет вид
ч -. / ( t№ \2 4лN0h2a I h"'k2 \
? м=у + -if- Ыг) - <3-6>
где концентрация возбуждений А'0<^а~3, т. е., как и можно было
ожидать, совпадает со спектром слабо неидеального бозе-газа с
отталкиванием между частицами. При этом использование перехода
от операторов Паули к операторам Бозе позволило нам выделить
кинематическое взаимодействие между экситонами, определить
длину рассеяния, фигурирующую в (3,6), и воспользоваться
известными результатами теории слабо неидеального бозе-газа.
Как это следует из (3,6), квазичастицы при | k j У aN0j2
имеют звуковую дисперсию, а при | k| Y~aNJ2 переходят в "почти
РОЛЬ ДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
361
свободные частицы" с
