Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
кинематическое взаимодействие между экситонами, возникающее
из-за того, что экситоны не являются строго бозонами, влияет
на вероятности нелинейных оптических эффектов и, в частности,
сказывается на зависимости этих вероятностей от частот
участвующих в процессе фотонов. Отсылая читателя за
подробностями к работе Тошича [8], где приведены результаты
соответствующих расчетов, ограничимся здесь лишь обсуждением
вопроса о возможности бозе-эйнштейновской конденсации
экситонов Френкеля *).
Поскольку в люминесцирующих кристаллах время термализации
экситонов мало по сравнению с временем их гибели, будем в
дальнейшем, говоря о коллективных свойствах экситонов, иметь в
виду свойства экситонов, находящихся в нижайшей экситонной
зоне в течение времени, большого по сравнению с временем их
термализации, однако малого по сравнению с временем их жизни.
Напомним в этой связи, что, например, в антрацене время жизни
синглетных
g __ ^
экситонов тс^Ю сек, а триплетных - т 10 сек, тогда как время
свободного пробега экситона, обусловленное рассеянием на
фотонах, составляет величину порядка 10-10- 10-12 сек\ см. гл.
IX **).
В силу сравнительно малой эффективной массы экситонов темпе-
ратура конденсации для них может быть не слишком низкой уже
при сравнительно невысоких концентрациях экситонов.
Действительно, для идеального бозе-газа температура бозе-
эйнштейновской конденсации Т0 определяется соотношением
и -j, 3,31 й2 Л72/3
"б ' 0 - -ГГ?- N о ,
*) Исследование коллективных свойств экситонов Ванье-Мотта
проведено в работах [9, 10]. В более ранних работах [11] также
обсуждались различные аспекты проблемы бозе-эйнштейновской
конденсации экситонов.
**) Это означает, что при рассмотрении коллективных свойств
экситонов при временах t < т можно не принимать во внимание
такие взаимодействия, которые изменяют состояния экситона лишь
при временах t > т. В этом состоит одна из характерных черт
проблемы (см. также следующий параграф).
23*
356
СТАТИСТИКА И КОЛЛЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЭКСИТОНОВ [ГЛ. X
где N0 - концентрация экситонов, т* - эффективная масса
экситона. Если т* - 10 т., где т-масса электрона в пустоте*),
то при N0~1018 с.и~3 температура конденсации 70~3°К-
В некоторых полупроводниках, где реализуются в качестве
нижайших экситонных состояний экситоны типа Ванье - Мотта, их
эффективная масса может быть порядка массы электрона либо даже
меньшей. В этом случае величина Т0 соответственно возрастает, и
создание условий, при которых может возникнуть конденсат,
упрощается. Однако в такого рода кристаллах из-за относительно
большого радиуса экситона при более низких концентрациях
становится существенным взаимодействие между экситонами,
способное привести экситоны к их распаду с образованием
свободных носителей (о роли этого типа процессов в случае
экситонов Френкеля см. ниже в § 4).
Наличие как кинематического, так и динамического
взаимодействия между экситонами позволяет при малых
концентрациях экситонов использовать для их описания теорию
слабо неидеального бозе-газа.
В следующем параграфе будет показано, что при отсутствии
динамического взаимодействия газовое состояние системы
экситонов, т. е. состояние с малой плотностью, является
устойчивым, так как кинематическое взаимодействие между
экситонами, рассматриваемыми как бозе-частицы, обеспечивает в
среднем их отталкивание. Вопрос же о роли динамического
взаимодействия между экситонами Френкеля специально
обсуждается в § 4.
§ 3. Коллективные свойства идеального газа паулионов
В дальнейшем, ради краткости, будем называть паулиюнами эле-
ментарные возбуждения, операторы рождения и уничтожения
которых удовлетворяют перестановочным соотношениям (1,1).
В этом параграфе, используя результаты § 2, рассмотрим
коллективные свойства идеального газа паулионов, т. е.
системы, которой отвечает оператор Гамильтона (1,3), тогда как
оператор динамического взаимодействия**) между элементарными
возбуждениями обращается в нуль, т. е. /Yint = 0.
Подставляя выражения (2,4) и (2,5) в (1,3) и переходя от
операторов Паули к операторам Бозе, мы, наряду с
гамильтонианом нуле
*) Ширина нижайшей экситонной зоны в антрацене 100 см~', так
что в приближении эффективной массы m*~100m. В этом случае при
М0 = 1018 см~ъ Г0^0,3° К.
**) В кристаллах типа кристаллов бензола, нафталина и т. д.,
образованных из молекул, обладающих центром инверсии, оператор
Нint тождественно обращается в нуль, если ограничиться лишь
учетом диполь-дипольного взаимодействия между молекулами.
Более подробно об операторе Нmt см. в следующем параграфе.
5 3] КОЛЛЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА ГАЗА ПАУЛИОНОВ 357
вого приближения (1,5), получим в операторе кинематического
взаимодействия экситонов слагаемые двух типов. Первый тип -
это слагаемые, возникающие в связи с тем, что, как это видно
из (2,5), оператор Pf Ps А1 s. Эти слагаемые пропорциональны
энергии возбуждения Д, они имеют вид
