Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
например, [5]).
Можно, однако, уточнить переход от операторов Паули к опера-
торам Бозе Bs и Bs , потребовав при этом, чтобы при любом'числе
бозонов число паулионов было равно либо 0, либо 1. С этой
целью запишем операторы Паули в виде
/ со + \'/j / ос + у/,
^ = ( в,. . (2,1)
где av - вещественные коэффициенты. Потребуем, чтобы операторы
Ps< Pt удовлетворяли условию
PsPt+PtPs= 1, (2,2)
если в (2,1) Bs и Bf -операторы Бозе. Подставляя (2,1) в (2,2)
и принимая во внимание тождество
М ' ' В ':' ' = {N, - v)B]Bl где A;f = BtBs, находим, что (2,2)
принимает вид
РАЧ^.= 1)Ж] = 1.
у = 0
-2
откуда
v + 1
или
(-2)v
a'v ~ (l+v)f (2,3^
Таким образом, искомое точное преобразование от операторов
Паули к операторам Бозе имеет вид
V* г ^
Г (-2)v +
Р.
(-2)' BVB" (1+v)! Ustti
Bs, Pt = Bt
(l+v)l
B'lBl
(2,4)
*) Результаты этого параграфа могут быть, по-видимому,
использованы и в квантовой теории магнетизма.
§ 2] ПЕРЕХОД ОТ ОПЕРАТОРОВ ПАУЛИ К ОПЕРАТОРАМ БОЗЕ 353
Оператор числа паулионов Ls = PfPs при этом следующим образом
выражается через оператср числа боюнов:
ls = PtPs = fis+ ^1) ... (tfs-v). (2,5)
V-1
Легко убедиться в том, что состояниям с любым четным числом
бозонов отвечает Ls= 0, а состояниям с любым нечетным числом
бозонов - Ls= 1. Таким образом, при преобразовании (2,4) и
(2,5) не появляются такие числа бозонов, которым бы отвечали
"нефизические" числа паулионов (т. е. числа Ls > 1).
Легко также убедиться в том, что из (2,4) следует
9 9
р; = р; = о.
Действительно, оператор
1 Va
2 avBW
v = 0
действуя на состояние, отвечающее нечетному числу бозонов,
дает нуль. Поэтому результат действия оператора
/со + у/, /сю + y/j
j Bs[JZoavBvsBvsJ Bs
на любое состояние бозонов также равен нулю, что
непосредственно следует из структуры оператора Ps. Аналогично
легко убедиться и
+ 2
в том, что Ps - 0.
Если в (2,4) ограничиться под знаком суммы только первым
слагаемым (с v = 0), то мы получаем PS=BS, Ls~f}s, т. е. как раз
то приближение, которое было использовано в § 1.
Если же учесть также член с v = 1, то
Ps = Bs, Pt = Bt VI - N~, (2,6)
и получается известное представление Холстейна - Примакова
[61. При этом
PsP; +¦ PtPs = 1 -Ns (Ns - 1), (2,7)
так что правая часть (2,7) равна единице, если числа бозонов
ограничить значениями 0, 1. Поэтому, если в кристалле имеется
много элементарных возбуждений, возможны неконтролируемые
ошибки, о которых уже говорилось выше.
23 В. М. Агранорич
354
СТАТИСТИКА И КОЛЛЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЭКСИТОНОВ
[ГЛ. X
При использовании точного представления (2,4) слагаемые с v
1 под знаком суммы можно рассматривать как малые операторы,
малость которых возрастает с ростом v. Действительно, для
бозе-операторов
BvsB] = Ns(fis- 1) ... (N,-v+1). (2,8)
Таким образом, оператор (2,8) обращается тождественно в нуль
на классе функций, которым отвечают числа бозонов Ns < v. С
ростом же v этот класс функций расширяется. Именно поэтому
корень квадратный из 2 в (2,4) можно представить в виде ряда
v
2 ьчв)в).
Для определения коэффициентов bv воспользуемся тем, что в
представлении чисел заполнения бозонов для любых целых чисел
N0 должно выполняться соотношение
2 avNs(Ns
,v = 0
1) .. . (Ns
1)
2 bvNs{Ns - 1) . . . (W, -v+ 1).
v -0
Полагая в этом соотношении Ns = 0 и используя (2,3), находим,
что
1, находим, что Ьх - -1. Полагая N, - 2,
аналогично получаем, что величина Ь2
1
/3
и т. д.
'2 - 2 \ ' 1 3
Знание коэффициентов Ьу позволяет представить соотношения
(2,4) в следующем виде:
2 byBvsB)
v = 0
Bs,
Bi
2 ьчв)в)
v-О
(2,4а)
Интересно, что если в этих разложениях ограничиться только
слагаемыми с v = 0 и v = 1, получим
Ps = (l-Ns) Bs, Pf = Bt (1 - Ns), (2,46)
что отличается от разложения соотношений Холстейна - Примакова
(2,6) по степеням Ns:
Ps = (\ NS)Bs, Pt = Bt [l
Причина расхождения лежит в неточности последнего разложения,
где отброшенные слагаемые в состоянии Ns = 1 отличны от нуля,
тогда как все отброшенные слагаемые в (2,46) при Ns=\ тожде-
ственно обращаются в нуль.
ПЕРЕХОД ОТ ОПЕРАТОРОВ ПАУЛИ К ОПЕРАТОРАМ БОЗЕ
355
Подставляя разложения (2,4а) в (1,2) и (1,3), получаем
искомые разложения оператора Гамильтона по степеням бозе-
операторов с учетом не только динамического, но и правильного
кинематического взаимодействия. Возникающие члены энгармонизма
третьего порядка не содержат кинематических поправок. Роль
этого энгармонизма в теории нелинейных оптических эффектов
третьего порядка былз рассмотрена в гл. V (см. также обзор
Овандера [7]).
Кинематическое взаимодействие впервые появляется в членах
ангар- монизма четвертого порядка. Оно может быть учтено в
теории нелинейных оптических эффектов вполне аналогично тому,
как это было сделано в гл. V (в этой связи см. также работу
Тошича [8], где рассмотрены нелинейные оптические эффекты
четвертого порядка в экситонной области спектра). Существенный
момент, который здесь следует отметить, заключается в том, что
