Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
[см. также (2,10) - (2,12) гл. II]:
Н - Н\) "Ь Hint, (1,2)
где оператор
5 5 ф S' S ф S'
(1,3)
квадратичен относительно операторов Ps и Ps , тогда как
оператор Hlnt оказывается суммой слагаемых третьего и
четвертого порядка. Смысл величин Д, и ясен из формул
(2,10)-(2,12) гл. II. В гл. II
было использовано то обстоятельство, что для слабо
возбужденных состояний кристалла, в которых среднее значение
c=<P^Ps> Cl, (1,4)
оператором PtPs в правой части соотношения (1,1а) можно
пренебречь. При этом операторы Р* и Ps становятся
операторами Бозе
(Pf = BJ, Ps - Bs). Это обстоятельство лежит в основе метода
приближенного вторичного квантования, главные представления
которого высказаны Блохом [1, 2] и который в дальнейшем был
развит в работах [3, 4] Боголюбовым и Тябликовым.
Используя этот подход, в гл. II оператор (1,3) был приведен
к диагональному виду
?о= S ?" 00 Я!?" (к) Ik). (1,5)
ц к
где Ец (к) - энергия элементарного возбуждения - экситона ц,
к,
а 5ц (к) и 5(1(к) - бозе-операторы рождения и уничтожения этих
элементарных возбуждений. Оператор (1,5) отвечает системе
невзаимодействующих экситонов. Поэтому для рассмотрения
процессов взаимодействия экситонов друг с другом необходимо
учесть в операторе Гамильтона слагаемые третьего, четвертого и
т. д. порядков по бозе-
операторам. Часть этих слагаемых содержится в операторе /У1пt>
фигурирующем в (1,2). Однако эти слагаемые, которые ниже будем
именовать слагаемыми динамического взаимодействия экситонов
друг
МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ 351
с другом, не исчерпывают весь оператор экситон-экситонного
взаимодействия. Дело в том, что при замене операторов Паули
операторами Бозе появляется как бы дополнительное
взаимодействие между элементарными бозе-возбуждениями, которое
будем, как и в теории магнетизма, называть кинематическим.
Ниже, следуя работе Тошича и автора [19], мы как раз и
рассмотрим процедуру корректного выделения слагаемых экситон-
экситонного взаимодействия, необходимых как при исследовании
нелинейных оптических эффектов (см. гл. V), так и коллективных
свойств экситонов при достаточно низких температурах.
Говоря о кинематическом взаимодействии, следует отметить,
что проблема его выделения в связи с переходом от операторов
Паули к операторам Бозе отнюдь не нова. Эта проблема
возникает, в частности, для гайзенберговского гамильтониана,
отвечающего, например, изотропному ферромагнетику со спином а
= У2 ПРИ введении спиновых волн, операторы рождения и
уничтожения которых подчиняются перестановочным бозе-
соотношениям. Этой проблемой занимались многие, в том числе
Дайсон [21], который получил низкотемпературные разложения для
намагниченности. Однако еще до появления работы Дайсона
Кранендонк [22] предложил учесть кинематическое
взаимодействие, исходя из картины, в соответствии с которой
одна спиновая волна создает препятствие для прохождения другой
сшыо- вой волны, поскольку два перевернутых спина не могут
быть сосредоточены в одном и том же узле (для экситонов
Френкеля это означает, что на одной и той же молекуле не могут
локализоваться сразу два возбуждения).
На математическом языке такой подход означает, что к исход-
ному гамильтониану, в котором операторы Паули заменяются
операторами Бозе, добавляется слагаемое, отвечающее предельно
сильному отталкиванию двух бозонов в узле.
Постулируемая в [22] картина приводит к поперечному сечению
рассеяния молекулярных размеров, отвечающему приближению
"твердых сфер".
Такой подход применительно к спиновым волнам Дайсон называет
наивным и критикует как неверный, приводящий к результатам,
которые отличаются от полученных им (см. [21], конец § 3). В
последующем изложении, которое основано на точном
представлении операторов Паули через операторы Бозе, будет
показано, что описанная выше картина для экситонов все же
возникает. Однако это имеет-место лишь потому, что для
экситонов энергия возбуждения А велика по сравнению с шириной
экситонной зоны. Что же касается спиновых волн, где указанное
выше неравенство не выполняется, то для них сечение рассеяния
длинноволновых спиновых волн друг на друге действительно
может, в согласии с Дайсоном, существенно отличаться от того
значения, которое следует из приближения "твердых сфер" [22].
352
СТАТИСТИКА И КОЛЛЕКТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЭКСИТОНОВ [ГЛ. X
§ 2. Представление операторов Паули через операторы Бозе *)
Прежде всего отметим, что та замена операторов Паули
операторами Бозе, которая использовалась в § 1 и в гл II,
является приближенной, ибо числа заполнения для паулионов
принимают значения 0 и 1, тогда как числа заполнения для
бозонов принимают любые целые положительные значения 0, 1, 2,
3 и т. д. Поэтому при замене операторов Ps и Рf операторами
Бозе вносятся неконтролируемые ошибки во всех тех случаях,
когда число бозонов больше единицы. В литературе эти ошибки
известны под названием "вклад от нефизических состояний" (см.,
